Qu'est-ce que Gödel a dit à Carnap et aux autres, ce 26 août 1930 au café Reichsrat? Pierre Cassou Noguès essaye d'imaginer... "Tous les systèmes formels avec un nombre fini d'axiomes qui contiennent l'arithmétique des entiers naturels sont incomplets. Cela vaut aussi pour les systèmes avec une infinité d'axiomes pourvu que la règle (c'est à dire la loi par laquelle l'ensemble infini des axiomes est engendré) soit constructive (en un sens qui peut être rendu assez précis)". A ce moment-là, Gödel ne peut pas en dire beaucoup plus.
La difficulté est de savoir ce qu'est un système formel qui contient l'arithmétique. En réalité, Gödel a prouvé son théorème pour un système particulier, celui des "Principia Mathematica" de Whitehead et Russell.
On reste encore avec la difficulté de savoir ce qu'est un système formel. L'incomplétude est-elle un défaut propre au système des Principia Mathematica? Ou bien le théorème de Gödel vaut-il pour tout système consistant capable d'exprimer l'arithmétique? Cette question, qui se pose en 1931 tient au fait qu'à ce moment là on ne sait pas de façon précise ce qu'est un système formel. Mais que veut dire "sans ambiguïté", "précis"... , termes exigés pour les axiomes, les règles d'inférence. Ce sont des mots du langage naturel qui, justement, ne déterminent pas de façon suffisamment précise le concept de système formel. On pourrait exiger que les démonstrations soient des processus purement "mécaniques": On pourrait déduire une formule des axiomes ou de formules déjà établies, en ignorant le sens des symboles, en ne les considérant que comme des dessins qu'on disposerait les uns à côté des autres selon les règles d'un jeu un peu absurde. Ce serait comme si "on ne se référait qu'à la structure extérieure des formules et non à leur sens de telle sorte que les règles puissent être appliquées par quelqu'un qui ne connaitrait rien des mathématiques, ou par une machine". Mais on revient à nouveau à la question: "qu'est-ce que ça veut dire précisément"? La solution est pourtant là, dans l'idée de machine. On peut considérer que la notion de système formel est fixée en 1937 avec l'article de Alan Turing. Il deviendra possible d'énoncer les théorèmes d'incomplétude en toute généralité.
Alan Turing est encore étudiant au Trinity College quand il invente ses machines. Il répond en cela à un problème précis: qu'est-ce que suivre des règles, qui déterminent nos actions sans ambiguïté et aboutissent réellement à un résultat c'est à dire en un nombre fini d'étapes? Que peut calculer l'esprit humain en les suivant? Il s'agit de définir la pensée humaine en tant qu'elle est réglée. Il semble que pour aboutir, elle doive être rester dans le fini et ne mettre en œuvre qu'un nombre fini d'étapes. Déjà, en 1934, Alonzo Church. pose une thèse qui vise à définir la notion de calculabilité, et la pensée réglée et finie. Gödel donne, lui, une définition équivalente, mais il n'est pas convaincu que l'une ou l'autre embrassent le calcul dans toute sa généralité. Il manque selon lui une véritable analyse qui en justifie les définitions. C'est cette analyse que donne Turing avec sa propre définition, équivalente mais plus naturelle, qui semble les justifier. Pour cette définition (qu'est-ce qu'un calcul, un processus de pensée, réglé et fini?), on parle de la thèse de Church ( thèse concernant la définition de la notion de calculabilité), de la thèse de Turing (énoncé et texte inaugural), ou de la thèse de Church Turing. Cassou Noguès évoque ici un 4è logicien à qui il consacre un chapitre de son livre, Emile Post. C'est lui aussi un "fou" que l'histoire a laissé de côté et qui est à l'origine d'un autre indécidable. le problème de correspondance de Post. Les définitions de la calculabilité de Church et Gödel étant plus technique Cassou Noguès présente celle de Turing, qui donne des formulations simples du théorème de Gödel (que ce dernier préfère d'ailleurs). Le papier de Turing est un article rédigé en 1936 et publié en 1937. Une machine de Turing est un modèle abstrait du fonctionnement des
appareils mécaniques de calcul, tel un
ordinateur. Il était censé représenter une personne virtuelle exécutant une procédure bien définie, en changeant le contenu des cases d'un ruban infini, en choisissant ce contenu parmi un
ensemble fini de symboles. D'autre part, à chaque étape de la procédure, la personne doit se placer dans un état particulier parmi un ensemble fini d'états. En résumé,
les actions (se déplacer sur un ruban, imprimer un symbole, changer d'état) sont déterminées par une liste d'instructions. Chaque instruction spécifie des actions en fonction de l'état de la machine et du symbole de la case devant laquelle elle est stationnée. La définition des machines ne dit rien de la nature du dispositif en question. On pose seulement qu'il n'est susceptible que d'un nombre fini d'états internes, qui peuvent être aussi bien matériels que mentaux. N'est-ce pas ce que nous faisons demande Turing quand nous posons une opération en écrivant les chiffres sur une feuille? Nous suivons des règles et des instructions qui prescrivent des actions en fonction des symboles et du point où nous en sommes et des retenues (mémorisées). Ce point n'est pas marqué sur la feuille de papier, mais le calculateur sait où il en est. C'est la thèse de Turing: tout calcul que nous pouvons réaliser en suivant des règles définies est implémentable sur une machine.
Il en est de même des démonstrations formelles et d'un système formel dont on exige que les axiomes et les règles d'inférence y soient suffisamment précis pour qu'il soit possible de conduire une démonstration, de déduire de nouvelles formules en ne considérant les symboles que comme des dessins, c'est à dire qu'une machine de Turing doit pouvoir être programmée pour conduire ces démonstrations. Pour chacun des systèmes que les mathématiciens reconnaissent comme formels, il est possible de définir une machine, qui écrit les uns à la suite des autres toutes les formules prouvables et tous les théorèmes du système. On peut alors purement et simplement identifier système formel et machine de Turing.
C'est pour Gödel le sens de la notion de système formel: "Il peut simplement être défini comme une procédure mécanique pour produire des formules que l'on appelle formules prouvables. Cela est requis par le concept de système formel dont l'essence est que le raisonnement y est complètement remplacé par des opérations mécaniques sur les formules". Cette définition permet maintenant d'énoncer le théorème de Gödel de1931 (voir mon article 3 l'incomplétude partie 1 chap. 3) dans toute sa généralité: "Il n'y a pas de théorie formelle capable de résoudre tous les problèmes diophantiens", c'est à dire: "il n'existe pas de procédure mécanique pour décider de toutes les propositions de la classe (des problèmes diophantiens). Dans une telle machine, on pourrait écrire le problème sur son ruban. ∀a ∃x ∃y x2 -
ay2 = 1 et la machine imprimerait 1 si la proposition est vraie et 0 si elle est fausse. Le théorème de Gödel établit que cette machine est impossible. Une machine peut résoudre certains problèmes diophantiens, il n'en n'existe pas qui puisse les résoudre tous. C'est un exemple d'une classe de problèmes qui ne peut pas se résoudre de façon mécanique et qui, si l'esprit humain peut y réussir, exige autre chose que des raisonnements formels. Gödel dira: il faut de l'intuition.
Rappel: Le second théorème de Gödel de 1931 établit que la consistance d'un système formel ne peut se démontrer par des raisonnements qui s'expriment dans le système. Elle n'écrira jamais une formule qui en exprimera la consistance (si celui-ci est bien consistant).
e)*Les dilemmes et le matérialisme
La théorème d'incomplétude a été anticipé dans une certaine mesure par deux fois. Par le mathématicien suisse Paul Finsler qui a utilisé une version du paradoxe de Richard (pour construire une expression fausse mais non démontrable dans un cadre informel particulier qu'il avait développé. Cela soulignait l'importance de distinguer soigneusement entre mathématiques et métamathématiques), puis Emile Post avec le problème de correspondance (On part de deux suites finies U et V contenant le même nombre de mots finis sur un alphabet quelconque. Le problème consiste à déterminer s'il existe une telle suite). Ce problème est indécidable: il n'existe pas d'algorithme général capable de fournir une réponse pour des U et V arbitraires.
Post, comme Finsler, cherchent une proposition qui soit absolument indécidable, c'est à dire dont on puisse prouver qu'elle ne pourra jamais être ni démontrée, ni réfutée par l'esprit humain. Or Gödel montre seulement l'existence de propositions indécidables dans certains systèmes formels. Son théorème (toutes les mathématiques contemporaines ne suffisent pas à répondre à toutes les équations diophantiennes." "Pour résoudre toutes ces questions, une infinité de nouveaux axiomes sont nécessaires), n'établit pas à lui seul l'existence de propositions indécidables en soi, ni de trancher la question: l'esprit humain est-il ou non une machine de Turing? Nous pouvons démontrer qu'aucune machine de Turing ne peut résoudre la totalité des problèmes diophantiens, mais rien ne dit que nous pouvons les résoudre, ni qu'en raisonnant sur les machines de Turing nous ne sommes pas nous-même une machine. Le théorème de Gödel aboutit à une alternative, un dilemme: ou bien l'esprit humain est irréductible à une machine de Turing, ou bien il existe des propositions arithmétiques indécidables pour cet esprit humain, des problèmes qui ne seront donc jamais résolus par nos mathématiciens. Pour Gödel, l'intérêt de ce dilemme est que chacun des deux termes s'oppose "à la philosophie matérialiste". En effet, s'il existe, d'un côté, des problèmes indécidables pour l'esprit humain, alors les objets mathématiques gardent et garderont toujours des propriétés qui nous échappent, ce qui signifie que ces objets ont une existence autonome et il faut donc admettre un plan de réalité (troisième monde ou raison inconsciente) irréductible au monde sensible. Mais d'un autre côté, Gödel est convaincu que le cerveau humain est une machine de Turing. Alors, si l'esprit humain surpasse toute machine de Turing, son fonctionnement est irréductible au mécanisme du cerveau (un paquet de neurones?) et révèle une autre réalité, une sorte d'âme, elle-même irréductible au monde sensible. C'est dans ce résultat que se résume le théorème d'incomplétude?: "Mon théorème montre seulement que la mécanisation des mathématiques, i.e. l'élimination de l'esprit et des entités abstraites, est impossible, si on veut obtenir une fondation et un système satisfaisant des mathématiques" (impossibilité de se passer d'un objet non matériel).[...] Dès 1934, il remarquait que, grâce au programme formaliste, "certaines questions [...] qui, auparavant ne relevaient que de spéculations vagues et ne pouvaient pas même être énoncées avec précision, sont maintenant susceptibles d'un traitement scientifique". Le dilemme est donc "peut-être, la première proposition rigoureusement prouvée à propos d'un concept philosophique".
Pour Gödel, le développement de la pensée occidentale représente un long mouvement de la théologie vers le matérialisme. C'est apparemment une loi générale (dans les temps historiques) que l'esprit du temps tende à tomber dans le matérialisme, au sens d'une métaphysique qui ne reconnait que de la matière. Et cela a pour conséquence de priver le monde de sens comme le montre cette remarque de 1961: "[...] il incline à considérer le monde comme un tas désordonné d'atomes et, par conséquent, insignifiant d'atomes. De surcroît, la mort y apparait comme une annihilation définitive et complète, alors que, de l'autre côté la théologie et l'idéalisme voient dans tout du sens, un dessein et de la raison". Ainsi, Gödel est du côté du sens, de la théologie. Dans le dilemme, les deux côtés de l'alternative obligent à reconnaitre à une réalité qui n'appartient pas au monde matériel, dans une proposition rigoureuse, qui traduit philosophiquement un théorème logique, ce qui explique l'importance que Gödel lui donne dans les années 1950.
Reformulé avec les machines de Turing, le 2è théorème établit qu'une machine ne peut pas prouver, mais seulement écrire (puisque comme machine à déduire elle a "prouvé" par les formule qu'elle a écrites) une formule qui exprimerait la consistance du système de formules qu'elle enchaîne. Si on admet que par l'intuition, le mathématicien peut toujours reconnaitre la consistance du système dans lequel il travaille, on conclut qu'il n'est pas une machine de Turing. Mais alors on rajoute au principe d'incomplétude un principe philosophique, une sorte d'axiome sur la capacité de l'esprit à reconnaitre la vérité et la consistance des systèmes. Ce principe ne va pas de soi, les théorèmes de 1931 n'excluent pas que l'esprit humain soit une machine de Turing: "Cela signifierait que l'esprit humain (dans le royaume des mathématiques pures), est équivalent à une machine finie qui, cependant, n'est pas capable de comprendre complètement son propre mécanisme. [...] La reconnaissance du fait que ce mécanisme particulier conduit toujours à des résultats corrects (ou seulement consistants, non contradictoires), dépasserait les capacités de la raison humaine". Or, pour Gödel, l'esprit doit être capable de cette réflexivité, qui lui fait reconnaitre sa propre consistance. Il ajoute aussi en note: "Donc en ce sens, on peut prouver aujourd'hui que la raison humaine [...] ne peut pas être mécanisée". Cette note est; dit Cassou Noguès, la seule occasion où Gödel pense prouver l'irréductibilité de l'esprit à la machine. Celle-ci repose cependant sur le principe philosophique de la réflexivité de l'esprit, qui doit être capable de reconnaitre sa propre consistance, ce qui reste à discuter réellement.
f)*Question d'image.
1963: Time Magazine prépare un numéro spécial consacré dans lequel on trouve un article de Gödel et son théorème. Les éditeurs proposent un texte au logicien, qui n'en n'est pas satisfait. Il prépare une note avec, au brouillon, une dizaine de formulations différentes. Finalement, dans le texte qu'il envoie, Gödel écrit de façon neutre et à la troisième personne. C'est le journaliste qui répond, par prudence comme à son habitude, Gödel reste anonyme dans l'article. Alors, se demande Cassou Noguès, pourquoi était-il si attentif à ce qui se disait de son travail? Il sait bien que ses notes suivront le même chemin que les papiers d'Einstein qui sont à la bibliothèque. Or il les conserve et les classe dans des enveloppes. Pourquoi? De même que pour les conversations avec Wang, il faut sans doute qu'il ait voulu que soient rendues publiques après sa mort les résultats des recherches qu'il avait tenues secrètes de son vivant. Mais que nous ayons ses papiers ne signifie pas forcément que nous les ayons tous, que ce soit le fruit du temps et du hasard et que dans ce que Gödel nous a laissé, il n'y ait aucun dessein. Cassou Noguès se souvient d'une note en particulier dans la boite des fiches de bibliothèque qui renseignent sur les les lectures du logicien. Il y en a des milliers et c'est un travail fastidieux et ennuyeux de les dépouiller (elles représentent 40 ans de lecture), lorsque Cassou Noguès tomba sur le verso d'une fiche (autrement quelconque), où était écrit ce message, en lettres capitales: "I WILL BE BACK IN A MOMENT ... KURT. A Qui ce billet était-il adressé? Il Faut se rappeler que Kurt croyait aux fantômes et qu'il avait prouvé que le voyage dans le temps n'était pas impossible dans la théorie de la relativité générale.
g)*L'optimisme rationaliste.
1er argument: la raison doit pouvoir résoudre les problèmes qu'elle pose. C'est une conviction rationaliste.
Il n'y a rien que la raison puisse rencontrer et ne puisse connaitre, aucun problème qu'elle puisse poser et ne puisse connaitre. Pour Gödel, il en va de la cohérence de la raison et de ses évidences. Il semble évident que les problèmes mathématiques relèvent de la seule raison. Mais "La raison humaine serait tout à fait irrationnelle, à poser des questions auxquelles elle ne pourrait pas répondre, tout en affirmant emphatiquement que seule la raison peut y répondre. La raison humaine serait très imparfaite, et en un sens, inconsistante, ce qui marquerait une contradiction frappante avec le fait que les parties des mathématiques qui ont été développées systématiquement et complètement [...] montrent un degré étonnant de beauté et de perfection [...] Cela semble justifier ce que l'on peut appeler un "optimisme rationaliste". Ce pari sur la cohérence de la raison l'amène à poser que nos mathématiques ne comportent pas de problèmes indécidables pour nous et que, par conséquent notre esprit surpasse la machins de Turing.
2è argument: Il concerne la réflexivité de l'esprit. Le théorème de Gödel dit qu'une machine de Turing laisse in-décidées certaines formules, qui ne seront ni démontrées ni réfutées et en particulier celles qui expriment la consistance du système. En revanche, "quand on parle de l'esprit, on n'entend pas une machine (en un sens général), mais une machine qui se reconnait elle-même comme juste".
On peut imaginer une machine qui imprime d'abord une formule signifiant la consistance de l'arithmétique élémentaire. Puis elle imprime une formule signifiant la consistance du système obtenu en ajoutant comme axiome à l'arithmétique la formule précédente (consistance de l'arithmétique). Et ainsi de suite. A chaque étape, la machine pose une formule exprimant la consistance du système précédent et l'ajoute comme axiome pour former un nouveau système. Elle semble donc "comprendre son mécanisme" au sens où l'entend Gödel: elle reconnait la consistance du système d'axiomes qu'elle a posé. Pourtant, ce n'est qu'une machine et elle n'est pas encore capable de reconnaitre son mécanisme comme correct ou de le comprendre au sens de Gödel. En effet, ces formules, qui expriment la consistance de celles qui précèdent, forment un système infini dont la machine ne pourra jamais écrire la consistance. Elle fonctionne selon des règles qu'elle ne comprend pas. En fait, il faudrait savoir si la machine est capable de reconnaitre la consistance du système sur lequel elle travaille dans sa totalité ou mieux les axiomes qui déterminent son fonctionnement. L'esprit qu'invoque Gödel n'a semble-t-il aucun moyen d'exprimer cette réflexivité qui le distingue de la machine, ou alors, il faut supposer qu'il utilise un autre langage, des axiomes de nature différent que ceux des langages formels. Cela suppose une réforme de nos mathématiques et de leur langage. Mais pourquoi poser, avec Gödel, que l'esprit (humain?) possède cette réflexivité? Que la raison est cohérente? Il se pourrait que nous ayons la conviction que les mathématiques relèvent de la pure raison (et non de l'observation empirique), et pourtant, qu'elles comportent des problèmes insolubles. Leur beauté est-elle un indice suffisant pour poser la cohérence de la raison qui découvre cet univers? Gödel y voit également un indice de l'harmonie que Dieu a mise dans le monde sensible en le créant. Il ne semble pas justifier ces deux traits, la cohérence de l'esprit et la réflexivité, qui fondent son optimisme rationaliste, par une observation de type phénoménologique directe, de ce que l'esprit "est". Il semble plutôt mettre en œuvre un principe philosophique qui rappelle le principe cartésien de la véracité divine: Dieu n'est pas trompeur. Il n'a pu mettre dans l'esprit humain cette évidence que les mathématiques ne relèvent que de la raison si leurs problèmes ne peuvent être résolus par nous que de façon empirique. C'est quasiment un principe théologique.
h)*Le développement des mathématiques.
Partons du fait, avec Gödel que l'esprit humain peut résoudre tous les problèmes qu'il peut se poser, dont les problèmes diophantiens. Il faut donc que nos mathématiques soient différentes de celles des machines de Turing et plus puissantes. Il faut aussi que puisse devenir évident pour nous un système d'axiomes avec des listes infinies de formules qu'une machine de Turing ne puisse pas écrire. Or la théorie qui forme la base des mathématiques, la théorie des ensembles, est parfaitement mécanisable. Il s'agit donc de la développer avec de nouveaux axiomes pour former une liste complète où toute proposition qui peut y être formulée est ou démontrable ou réfutable. Une autre difficulté est qu'un système formel au sens strict ne semble rien présupposer du passé mathématique de la théorie. On peut ne rien connaitre des mathématiques, n'être qu'une machine, il suffit d'appliquer les règles pour obtenir des formules valides à partir des axiomes. Un système formel ne présuppose pas de notion, toute notion y est manipulable sans savoir préalable, alors que des théories comme l'analyse présupposent certaines notions et ne peuvent être utilisées que par qui les comprend. Il semble donc que nos langages soient toujours imparfaits ou bien incomplets comme les systèmes formels. Gödel a proposé différentes voies pour étendre la théorie des ensembles. Mais à partir de 1964, il semble envisager une réforme complète de nos mathématiques, qui remplace le concept d'ensemble par d'autres, plus larges. Deux exemples sont le concept réflexif de classe propre (Quand une classe n'est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors pas être élément d'une classe) et le concept de concept, le concept d'analogue. Dans le vocabulaire de Gödel, la classe est l'extension du concept (classe des objets qui vérifient le concept). Elles peuvent donc appartenir à elles-mêmes, à la différence des ensembles (un ensemble n'appartient pas à lui-même), elles sont réflexives. L'idée est que si on ne possède pas encore des axiomes satisfaisants, ils pourraient néanmoins déterminer une nouvelle mathématique dépourvue des imperfections de la notre, et en particulier, complète. Gödel mentionne ici cette possibilité, le concept d'analogue. Qu'entend-t-il par là? On trouve des notes qui opposent la "composition" comme relation primitive pour les objets matériels et "l'analogie" pour les objets abstraits ou qui font de l'analogie le raisonnement des purs esprits, sans corps matériel, ou le mode de raisonnement propre aux "mystères" (donc?) convenant à la logique. Au fond, il attend en mathématique, une révolution comparable à celle qu'a accomplie la théorie de la relativité par rapport à la physique newtonienne, une révolution qui transforme nos concepts fondamentaux et nous rapproche de la réalité. Celle-ci, la découverte d'une nouvelle procédure non mécanique pour former des axiomes aboutissant à un édifice complet, passe non seulement par de nouveaux concepts, mais aussi par la meilleure compréhension de notre esprit. Ce thème est développé en particulier dans une lettre à Paul Tillich de juin 1963. Gödel renvoie à des intuitions tournée vers différents espèces d'ensembles infinis, mais qui dépendent d'une réflexion sur la raison elle-même. Cela doit être mis en relation avec la seconde preuve de l'argument sur la réalité des objets mathématiques: leur monde est imaginé par une raison inconsciente en nous. Le développement des mathématiques et de ses lois suppose bien une réflexion sur la raison...et une reconquête de cet inconscient avec l'élimination de cet "autre" qui le hante En affirmant que la connaissance de soi qui détermine la définition des machines de Turing est une l'analyse "factuelle" et en l'opposant à une connaissance de l'essence de la raison, il laisse entendre que si nous utilisons des symboles et pratiquons certaines opérations sur eux, ce n'est qu'un accident. et que d'autres mathématiques (celles des anges du ciel des idées) sont possibles, où il n'y a plus de symboles et où les axiomes ont une autre forme. Nous pouvons les approcher en retrouvant en nous en deçà du fait de notre incarnation, une raison plus profonde. "La réalisation de telles procédures non mécaniques requerrait un développement de facultés de l'esprit humain bien au-delà du stade qui a été atteint (ou potentiellement atteint) dans notre culture/dans la science d'aujourd'hui". Cela rappelle Mellonta Tauta, nouvelle d'Edgar Poe dans laquelle ce dernier retrouve la correspondance, tombée du ciel, d'un homme du futur (2048) qui survole l'Atlantique dans l'un de ces ballons qui ont remplacé la navigation maritime . Cet homme médite sur l'histoire humaine et s'étonne de ce que les anciens (du millénaire passé, au XIXè siècle) aient progressé si lentement et avaient une connaissance et des sciences réduites à "l'art de ramper". Ils (= nous?) étaient aveuglés par l'analyse des moyens de la connaissance et refusaient toute proposition qui ne provenait pas directement de l'une de ces deux méthodes: la méthode a priori qui procède par déduction à partir d'axiomes immédiats, et la méthode a posteriori qui part de l'expérience. Mais, c'est exactement ce que pourraient dire de nous les anges ou les hommes après la révolution mathématique dans la cosmologie de Gödel: Nous acceptons d'un côté l'observation expérimentale et les preuves inductives et de l'autre les systèmes formels qui doivent être mécanisables, limités par la rigueur de leurs enchainements, mais nous ignorons l'intuition qui nous ouvrirait le ciel mathématique.
i)* Paradoxes et réflexivité de l'esprit.
Premiere espèce: les paradoxes sémantiques (voir chap.3),
Vidal-Rosset -Que-est ce qu'un paradoxe?- attribue l’origine des paradoxes sémantiques à « l’autoréférence ainsi qu’à un usage non régulé des concepts de vérité et de fausseté ». Ils ne concernent que le langage. Le paradoxe du menteur est un paradoxe attribué à Eubulide de Milet et qui remet en cause le fait qu'un énoncé est soit vrai, soit faux. Il concerne des propos tenus par le poète Épiménide. Ces paradoxes ont été résolus par la définition précise des langages. Il suffit de poser qu'en mathématiques la vérité des formules ne se vérifie pas dans ce langage mais dans un métalangage. Le menteur ne peut pas dire: "je mens" ou "la proposition que je viens d'écrire est fausse" mais seulement: "cette formule du langage L est fausse", ces énoncés appartenant à un autre langage, le langage L, l'excluant ainsi du paradoxe. Les deux notions, vérité et démontrabilité doivent donc être différentes. Or, si le langage est consistant, les phrases démontrables doivent être vraies, il faut donc qu'il existe des phrases vraies non démontrables: le langage est donc incomplet.
On part d'un domaine d'objets (espace dans lequel les objets sont définis), les individus. Le premier niveau est constitué par l'ensemble des objets formés avec ces individus, puis au deuxième niveau, des ensembles formés d'ensembles de ce premier niveau et ainsi de suite. Dans cette hiérarchie, chaque ensemble doit être formé d'éléments qui s'inscrivent dans les niveaux qui le précèdent, de façon que qu'un ensemble n'appartienne à lui-même. Et dans cet univers, on ne peut pas former l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes, mais seulement parmi ces derniers, celui de niveau i qui n'appartiennent pas à eux-mêmes (et cet ensemble, de niveau i+1 n'appartient pas à lui-même). Ainsi, on peut considérer que les paradoxes extensionnels sont résolus. Nous avons, du côté des extensions, une théorie des ensembles, il nous manque une théorie des concepts (A voir: Un nouveau livre sur la théorie des concepts?). Nous ne savons pas (encore?) donner de lois satisfaisantes qui autorisent l'application d'un concept à lui-même et écartent les paradoxes intensionnels. C'est pourtant de cette théorie du concept que semblent dépendre, selon Gödel, la révolution qui produira un nouvel édifice auquel ne s'appliqueront plus les théorèmes d'incomplétude. Gödel semble renvoyer ce développement révolutionnaire à différentes propriétés de réflexivité: Réflexivité" des concepts (qui s'appliquent à eux-mêmes), "Réflexivité" de l'esprit, qui doit pouvoir reconnaitre la consistance du système dans lequel il travaille, ou "comprendre" son propre mécanisme, Réflexivité de la raison qui, comme on l'a vu avec la lettre à Tillich au chap. h)*, est reconnue capable d'une connaissance de soi essentielle. Les remarques de Gödel sur la théorie des concepts restent énigmatiques, mais il est clair qu'il en attend une révolution qui transforme l'édifice des mathématiques et les rapproche de cette réalité qu'elles ne reflètent pas (que cette réalité soit dans un monde en soi, ou dans une raison sous-jacente à l'ego et qu'il reste à ramener à la conscience).
Il semble donc que cette révolution doive s'appuyer sur une propriété de l'esprit, sa réflexivité, que nos sciences avec leurs préjugés matérialistes tendent à ignorer. Cette révolution mathématique serait la reconquête de l'esprit par lui-même, réduction de cet autre, altérité qui, on l'a vu, fait peur à Gödel, une connaissance de soi "essentielle" qui déborde la connaissance qui intervient dans la machine de Turing.
j)* Le logiciel est-il humain?
"Il y a une apparente contradiction dans mon propre usage de l'esprit humain également comme concept. Ce qu'il faut éviter est d'utiliser ce concept d'une manière autoréférentielle. Nous ne savons pas le faire. Mais je ne fais pas un usage autoréférentiel du concept d'esprit humain." Cet énoncé, à propos de paradoxes et de la réflexivité, qui a été donné par Gödel à Wang est plutôt surprenant. Quand l'esprit humain raisonne sur le concept d'esprit humain, ce concept qui fait l'objet du raisonnement semble bien devoir s'appliquer au sujet du raisonnement. Cela pose deux questions: c'est bien un usage autoréférentiel du concept d'esprit humain. Alors quelle difficulté y a-t-il à utiliser le concept d'esprit humain de façon auto-référentielle et comment Gödel peut-il éviter de le faire? Est-ce à dire qu'il n'est pas lui-même un esprit humain du moins en tant que logicien?
La première question exige de faire un détour par la métaphysique. L'esprit humain et chaque individu sont définis par des concepts. Chaque Je (voir la conscience a t-elle une origine? de Michel Bitbol) est déterminé par un certain système de propriétés caractéristiques, qui détermine de façon précise sa place dans le monde et, par conséquent, l'ensemble des objets que le Je peux percevoir et penser.
finalement, c'est un Je qui se pense lui-même, donc c'est un ensemble qui appartient à lui-même. Au total, (parler quand on est un esprit humain et que l'on pense ce que l'on dit) de l'esprit humain, c'est poser un ensemble qui appartient à lui-même. Or, on ne sait pas traiter. ces ensembles. Il faut donc éviter de parler de l'esprit humain quand on est un esprit humain. On peut retenir que chaque Je est un concept et que le concept du sujet détermine l'ensemble des objets dont le sujet fait l'expérience.
Mais comment Gödel peut-il peut éviter de d'utiliser le concept d'esprit humain de façon autoréférentielle en parlant de l'esprit humain? Cela veut-il dire qu'il ne s'applique pas ce concept à lui-même quand il parle, et qu'en tant que logicien il s'exclut de l'esprit humain? Cela semble être la seule façon de le comprendre. en tant qu'il parle de l'esprit humain, il n'est plus un esprit humain. De la même manière, Turing a brièvement fait ce genre d'analyse dans sa définition des machines ([...] il lui faut commencer par analyser le calcul, tel que peut le faire le mathématicien, avec son corps, son esprit, son langage etc). Gödel conjecture que de telles analyses interviendront également dans d'autres concepts, en particulier celui de preuve, qui implique une réflexion "concernant la psychologie de l'être qui fait des mathématiques", être qui, dans la cosmologie de Gödel n'est pas nécessairement un esprit humain. Cette ambition de saisir dans la pensée humaine la pensée en général se retrouve également chez Husserl, dont Gödel s'inspire: dans "les idées directrices pour une phénoménologie et une philosophie pures", Husserl maintient qu'en vertu de l'a priori de la corrélation, la réflexion phénoménologique peut isoler des vécus nécessaires à l'appréhension d'un objet et que tout être, y compris Dieu, qui perçoit cet objet doit lui-même éprouver.
Mais, il ne faut pas oublier que dans la cosmologie de Gödel, il y a outre Dieu, toute une série d'esprits capables de mathématiques dont, à l'heure actuelle, nous ignorons tout. Alors, l'analyse de Turing vaut elle pour le calculateur humain seulement ou pour tout calculateur qui serait incarné et en quelque sorte, branché sur le cerveau? Ainsi, Wang écrit: "Par esprit, Gödel entend quelque chose qui est supposé vivre indéfiniment et rester tout le temps connecté à un cerveau de taille donnée (Gödel ajoute: [avec à sa disposition une quantité de papier illimitée]. Ce quelque chose pourrait-être en particulier humain ou pourrait être certaines forces de vie partagées par des formes de vie autres qu'humaines". Gödel parle de "formes de vie" d'esprits non bornés (avec une infinité de neurones?). S'il peut parler de l'esprit humain on a vu qu'il ne peut pas encore parler de la pensée ou de l'esprit en général puisqu'il reste de ce point de vue surhumain, un esprit. Pour en parler en tant qu'esprit, il faudrait avoir résolu les paradoxes intensionnels, ce qui semble devoir conditionner la révolution mathématique.
Après la petite halte que nous avons faite dans Mon article 3 l'incomplétude partie 1, nous pouvons poursuivre "ma lecture" des derniers paragraphes de chapitre "l'incomplétude" du livre de Pierre cassou Noguès "Les démons de Gödel". Les chapitres de cet article sont numérotés à la suite de ceux de "L'incomplétude partie 1"
k)* L'esprit et le cerveau vus par Gödel
Si un développement des mathématiques est possible comme l'envisage Gödel pour permette par exemple de résoudre la totalité des problèmes diophantiens, il faut que l'esprit soit irréductible à une machine de Turing. Gödel évoque une esprit qui
"surpasse infiniment les puissances d'une machins finie', un esprit qui contient un élément/est quelque chose de totalement d'un mécanisme combinatoire fini", une raison
"qui contient une partis complètement en dehors du mécanisme". Mais en même temps, il est convaincu que le cerveau se laisse représenter comme une machine de Turing. Cette partie de la raison hors du mécanisme est donc également hors du cerveau, avec des processus qui ne se reflètent pas dans le fonctionnement du cerveau. Dans l'état actuel des connaissances, on peut considérer, avec Pierre Cassou Noguès, le cerveau comme un système de neurones en nombre fini, susceptibles de se connecter les uns aux autres. Si on admet que ces connexions ne peuvent pas passer par un continuum d'états intermédiaires, elles sont ou ouvertes ou fermées. L'état du cerveau est alors déterminé à un instant donné par les connexions ouvertes entre les neurones. Il n'y a qu'un nombre fini d'états possibles. Le passage d'un état cérébral à un autre est
déterministe (
chaque événement, en vertu du principe de causalité, est déterminée par les événements passés conformément aux lois de la nature).et ne dépend que de l'état initial et des données extérieures. Dans ce cas, le cerveau est bien une machine de Turing. Mais Gödel soutient d'autre part, que cette description n'est pas nécessaire à la détermination cerveau comme machine de Turing. D'un côté il accepte le principe d'
incertitude quantique de la mesure, ce qui, dans son esprit, interdit de donner à un système physique un continuum d'états possibles. En effet, les états possibles d'un système physique (constitué de particules en nombre fini) sont en nombre fini. D'un autre côté, nous dit Cassou Noguès, il semble refuser le caractère probabiliste de la mécanique quantique et admettre qu'en dernier ressort, ses lois sont déterministes. Mais comme Gödel estime nos théories et nos principes ne sont qu'une étape intermédiaire dans notre approche de la réalité, destinées à être dépassés, cette "extrapolation" s'accorde parfaitement avec sa monadologie. Les monades, particules spirituelles et par conséquent indivisibles, justifient le caractère quantique de notre physique, alors que la possibilité d'une harmonie entre elles, l'harmonie préétablie de Leibniz (?), semble exiger de donner à la physique des lois déterministes.
Ainsi, toute partie finie de la nature et en particulier le cerveau, laissée à elle-même, semble donc être une machine de Turing alors que, rappelons le, il faut que l'esprit soit irréductible à une machine de Turing, comme précisé en début de ce chapitre.
(texte de la main de Gödel note 71 p. 272)
. On peut énoncer de façon plus précise l'hypothèse (1) de non-séparabilité en posant (1.a): à chaque état du cerveau correspond un état de l'esprit et inversement; et (1.b) le passage d'un état à un autre, dans le cerveau, se traduit par la transition correspondante dans l'esprit et inversement. Gödel espère que ces hypothèses et ce parallélisme, qui implique que l'esprit est une machine de Turing, seront réfutés. On pourra distinguer dans l'esprit, pense-t-il, des états plus nombreux que ceux dont le cerveau est susceptible. Comme on connait approximativement le nombre de neurones (n), le nombre des états possibles du cerveau est 2 n . Si on peut distinguer un nombre supérieur d'états dans l'esprit, c'est que certains états mentaux n'ont pas de correspondance cérébrale et cela détruira l'hypothèse "paralléliste". En supposant qu'un décompte introspectif des états mentaux soit possible, on aurait ainsi une réfutation purement empirique: "[...] par exemple, selon certains psychologues, l'esprit est capable de se souvenir avec tous les détails de tout ce dont il a fait l'expérience. Il semble plausible qu'il n'y ait pas assez de cellules nerveuses pour accomplir cela". Cette question du nombre des états mentaux réapparait à propos d'une vision qui différentie Gödel de Turing. Pour ce dernier, le calculateur humain se comporte comme une machine de Turing. Il n'y a pas de difficulté à établir que les écritures des mathématiciens sur le plan d'une feuille de papier peuvent être reproduites par la machine sur la ligne de son ruban, ni que le mathématicien, dans un calcul ou une démonstration formelle, suit des règles qui déterminent de façon univoque des transitions entre des états mentaux. La difficulté concerne le nombre, fini ou non des états mentaux dont l'esprit est susceptible. Turing dit: "Le nombre des états d'esprit que l'on doit prendre en compte est fini [...] Si nous admettions une infinité d'états d'esprit, certains se trouveraient "arbitrairement proches" et seraient confondus". Et, c'est ce point que conteste Gödel. On ne peut pas préjuger du nombre des états mentaux. Pour résumer, Gödel dit que l'argument de Turing n'est pas concluant, car il dépend de la supposition qu'un esprit fini n'est capable que d'un nombre fini d'états distinguables. Ce que Turing néglige complètement est le fait que l'esprit n'est pas statique mais en constant développement. Par conséquent, bien qu'à chaque étape du développement de l'esprit, le nombre de ses états possibles soit fini, il n'y a aucune raison pour que ce nombre ne puisse converger vers l'infini au cours de ce développement. Pour Gödel, l'esprit humain peut être représenté comme un dispositif avec des états distincts soumis à des règles déterministes, mais il conteste que le nombre de ses états possibles, dans l'ensemble de son développement soit fini. A chaque étape, il n'est passé que par un nombre fini d'états différents, mais il n'y a pas de borne au nombre des états que ces étapes sont susceptibles d'impliquer. Dans le cours de son développement dans son entier, l'esprit peut donc mettre en jeu une infinité d'états. C'est une machine déterministe, mais infinie. l'esprit est proche de l'automate spirituel de Leibniz, également déterministe et infini ("la conscience renvoie à une unité. La machine est composée de parties" voir Leibniz philosophie de l'esprit). Mais cette description de l'esprit pose problème. Comment s'il attaché à un cerveau dont le nombre d'état possible est fixé, ou limité, l'esprit peut-il passer par un nombre croissant d'états différents? Il y a bien un moment où il y a des états qui n'ont pas de corrélats dans le cerveau? Comment l'esprit surmonte-t-i en fait les limites de son cerveau? Dans un des rares exemples concrets que donne Gödel pour illustrer ce développement indéfini, l'esprit est détaché du cerveau" "[...] Il est parfaitement possible que que nous soyons capables d'une infinité d'états mentaux nettement distingués bien que, à chaque moment, seulement un nombre fini de ces états aient été actualisés. En fait, cela contredit "la finitude" de l'esprit humain aussi peu que la vie éternelle. Cette dernière présuppose également la possibilité d'une infinité d'expériences bien dans un être fini. C'est seulement un préjugé matérialiste qui exclut cela à cause de la finitude de notre "tête". Gödel ne dit pas ici que le développement de l'esprit, qui le fait passer par une infinité d'états et seul semble le distinguer d'une machine de Turing, ne peut s'accomplir que dans une vie éternelle. C'est par contre ce qu'il laisse entendre dans un texte de Wang (qu'il a corrigé de sa main): "Pour ce que nous en savons, l'esprit (mind) ou le "spirit" (corrigé par "l'ego" par Gödel) peut être distinct du cerveau et au cours d'un temps infini, être capable d'un nombre infini d'états distinguables. Le cerveau peut être essentiellement un ordinateur binaire, temporairement (rajouté par Gödel) connecté à un esprit fini capable d'un développement illimité, systématique et non mécanique (rajouté par Gödel). On ne nie pas que l'esprit humain soit fini et, à chaque étape de son développement, capable seulement d'un nombre fini d'états différents. Cette observation pointe vers un monde possible(qui pourrait être le monde réel), dans lequel il existerait pour des esprits finis des procédures mentales que ne puisse imiter aucune machine de Turing". Gödel (ou Wang sous l'œil de Gödel) admet que ce développement indéfini de l'esprit humain exige un temps infini qui on le sait, ne nous est pas accordé dans la vie terrestre. Il semble donc exiger une vie éternelle dans un monde qui peut être, mais qui n'est pas forcément ce que dans cette vie, nous appelons le monde réel. On pourrait donc imaginer que le développement de l'esprit s'accomplisse, non dans un individu unique, à qui il faudrait prêter une vie éternelle, mais à travers l'espèce humaine dans sa totalité, dont le développement se poursuivrait de génération en génération, chacune augmentant quelque peu les axiomes des mathématiques et le nombre de nos états mentaux. Mais ça ne résout pas la difficulté puisque Gödel est convaincu, et y voit un résultat de la physique, que l'univers matériel a un début et une fin. L'espèce humaine, comme l'individu, n'y dispose que d'un temps fini dans l'univers matériel. La conclusion s'impose: "Mais pourquoi alors n'y aurait-il que ce seul monde?" C'est dans un autre monde qu'il faut envisager le développement des mathématiques mais pour Gödel, il faut le rapporter à l'individu plutôt qu'à l'espèce. Wang, lui, suggère que l'on pourrait attribuer le développement des mathématiques à un esprit de l'espèce. Ce à quoi Gödel répond: "Par esprit, j'entends un esprit individuel possédant une durée de vie illimitée. Ce n'est pas encore l'esprit collectif d'une espèce. Imaginez plutôt une personne occupée à résoudre tout un ensemble de problèmes". Est-ce à dire qu'il faut attendre la mort pour assister à la révolution mathématique? Il me semble vraisemblable, dit Cassou Noguès, qu'à côté de ce développement progressif, Gödel ait aussi envisagé la possibilité d'une intuition absolue qui révèlerait dès maintenant la réalité mathématique, ses concepts fondamentaux et la structure de son édifice. Ce serait une expérience analogue à celle des philosophes (Platon, Descartes, Husserl, Leibniz...), une connaissance absolue et immédiate, comme cet "entendement" que mentionne Gödel, "si parfait qu'il n'a pas besoin de marques sur le papier, ou d'images mémorisées dans le cerveau (qui en tant que processus matériels ne sont possibles que dans le temps et l'espace) comme béquilles mais saisit toutes les relations conceptuelles d'un seul regard". Une telle intuition est-elle possible? Comment se lie-t-elle à nos vécus habituels dans le temps? "Un réveil est-il possible dans cette vie?".
l)* La vie après la mort selon Gödel.Nous avons vu que Gödel est convaincu que l'ego survit à la mort du corps. Nous avons vu que l'esprit, irréductible à un machine de Turing, doit être distingué du cerveau de telle sorte que son fonctionnement ne se reflète pas dans celui du cerveau ou qu'on puisse lui attribuer des états qui n'ont pas de correspondant dans le cerveau. Cela n'implique-t-il pas que l'esprit soit distinct de celui-ci? Gödel exprime cela dans une correspondance avec Abraham Robinson qui est en train de mourir d'un cancer: "[...].Je suis désolé d'apprendre votre maladie [...] (1) je ne crois pas qu'un pronostic médical puisse être sûr à 100%; (2) La proposition que notre ego consiste en des molécules de protéines me semble l'une des plus ridicules jamais énoncées. J'espère que vous partagez au moins cette seconde opinion avec moi". Gödel lui donne deux motifs d'espérance tout à fait différents. Pour que la seconde "vue" s'applique, il faut que les médecins ne se soient pas trompés dans leur diagnostic. Il faut que Robinson meure. Curieuse consolation! Mais ici, la non identité de l'esprit (de l'ego) et de la matière, le fait que l'ego ne consiste pas en molécules, semble signifier que l'esprit est immortel. Cassou Noguès cite ici un brouillon de cette note, où Gödel écrit: "Puisque l'ego existe indépendamment du cerveau, nous pouvons avoir d'autres phases d'existence dans l'univers matériel ou dans un monde formé après que l'univers matériel a sombré dans le néant. L'apparence du contraire peut s'expliquer par le fait que nous en savons si peu sur le sujet". Cela ferait ainsi de nos morts des fantômes, des esprits privés de corps hantant le monde que nous habitons aussi. Rappelons ici que Gödel croyait aux fantômes. Georg Kreisel, mathématicien qui a travaillé dans la théorie de la démonstration, rapporte des discussions sur ce thème, alors qu'Adèle, l'épouse de Gödel, se moquait de lui et des livres qu'il lisait sur le sujet. Gödel croit donc sans ambiguïté à une vie après la mort, dans ce monde peut-être et dans d'autres mondes à coup sûr, avec un second argument indépendant du premier, qui pose l'immortalité de l'esprit à partir de son irréductibilité au cerveau, pour justifier cette thèse. C'est ce qu'on peut voir dans une lettre à sa mère: "Dans ta dernière lettre, tu poses une question difficile, à savoir si je crois que nous nos nous verrons à nouveau (dans l'au-delà). Sur ce point, je peux seulement dire la chose suivante: si le monde est rationnellement organisé et a un sens, alors ce sera le cas. Car quel serait se sens de former un être (l'homme), qui a un tel éventail de possibilités pour son développement individuel et pour ses relations avec les autres et de ne pas lui permettre d'en réaliser le millième? C'est comme si je construisais les fondations d'une maison, avec beaucoup de difficultés et de dépenses, pour ensuite tout laisser en ruines". Gödel ne lui précise pas plus son argument, mais on peut faire un rapprochement avec les discussions sur le théorème d'incomplétude, en particulier avec cette remarque "que l'univers n'est pas statique mais en constant développement". Par contre, si l'esprit pouvait réaliser dans cette vie son développement indéfini, qui lui permettrait de surpasser la machine de Turing, et de résoudre la totalité des problèmes mathématiques, ou de transformer celle-ci en un édifice complet, l'argument tomberait en grande partie. Nous aurions, dans cette vie, résolu tous les problèmes que nous pouvons nous y poser et il serait impossible (dans ce domaine rigoureux que sont les mathématiques), de mettre en évidence quoi que ce soit qu'il nous resterait à apprendre et qui exigerait une autre vie.
Les arguments de Gödel pour une vie éternelle semblent toujours faire intervenir le théorème d'incomplétude. Un premier argument part de l'irréductibilité de l'esprit au cerveau qui, comme on l'a vu se déduit de l'optimisme rationaliste (toute proposition qu'on peut formuler doit pouvoir recevoir une preuve ou une réfutation)
, du théorème d'incomplétude (une machine de Turing ne peut pas résoudre la totalité des problèmes diophantiens)
et du fait que le cerveau est une machine de Turing. Le second argument part de deux hypothèses. 1) La première est inspirée du principe de raison suffisante de Leibniz: «jamais rien n'arrive sans qu'il y ait une cause ou du moins une raison déterminante, c'est-à-dire qui puisse servir à rendre raison a priori pourquoi cela est existant plutôt que non existant et pourquoi cela est ainsi plutôt que de toute autre façon». "L'idée que tout dans le monde a un sens est, après tout, précisément analogue au principe que tout a une cause, sur lequel la totalité de la science repose". 2) La seconde est qu'il y a dans l'homme une capacité de développement qui ne peut pas se réaliser dans cette vie. C'est aussi, au fond, le théorème d'incomplétude, car cette hypothèse semble bien supposer que la machine qu'est le cerveau ne peut pas avoir de solution à la totalité des problèmes diophantiens. On peut trouver dans la tradition philosophique des précédents aux hypothèses et arguments qui sous-tendent tous ces principes et des débats concernant chacune de ces questions. Pourquoi alors, se demande Cassou Noguès la conclusion (qu'il partage) que le théorème d'incomplétude implique dans un contexte raisonnable l'immortalité de l'âme parait-elle "folle" (voire diabolique)?
j)* L'incomplétude, le mal et le diable.Il semble donc, selon Gödel, qu'y ait deux voies pour la résolution par l'homme des problèmes mathématiques: un développement indéfini de l'esprit humain (ce qui exige une vie éternelle) ou une intuition absolue, analogue à celle des grands philosophes, qui révèle d'un seul coup l'univers mathématique. Mais alors, elle met dans l'esprit une complexité que le cerveau ne peut supporter, et il faut qu'à cet instant s'opère une disjonction entre l'esprit et le cerveau et que se brise l'harmonie que Dieu a mise dans les choses. C'est cette harmonie qui fait faire les choses sans qu'il y ait d'influence réelle de l'esprit sur les muscles, telle que "au moment où je pense à lever mon bras, il se lève de lui-même". En cela, l'intuition absolue est contre-nature, quelque chose qui devrait ne pas se produire (l'œuvre du diable?). Et "c'est parce qu'elle est impossible dans dans le fonctionnement de la nature créée, que Dieu nous a donné la vie éternelle". Si cette intuition se produisait habituellement, elle n'aurait pas de sens, ou plus celui que lui donne Gödel, nous n'aurions plus rien a y apprendre et elle serait d'un ennui infini. Elle est, dit Cassou Noguès, comme l'œil pinéal qui en est l'organe, un point d'achoppement dans la métaphysique de Gödel. C'est peut-être qu'il ne faut pas chercher une trop stricte et rigoureuse cohérence dans ses notes, qui s'échelonnent sur 35 ans environ. ce sont de cours fragments où il pose des problèmes, fait des hypothèses, tente des solutions (qu'il abandonne par la suite). Il hésite, certains points ne sont pas fixés; il y a des contradictions entre notes ou avec des textes qu'il a publiés. Il y a des tensions qui viennent de l'évolution de sa pensée et souvent un hiatus qui tient à sa prudence. Gödel cache ses thèses fantastiques, il les omet ou les recouvre sous des énoncés en apparence neutres ou qui ne disent rien à celui qui ne connait pas ses thèses. Les articles publiés ne montrent rien ou presque rien du monde fantastique dans lequel il vit. C'est pour cela que Pierre Cassou Noguès se concentre sur les brouillons et les notes. C'est dans ces écrits, que Gödel garde pour lui, qu'on peut rencontrer ses thèses "folles" où par exemple le théorème d'incomplétude y semble justifier la vie éternelle et semble également expliquer l'existence du mal. "De la véridicité de Dieu, il suit: tout est comme nous le percevons mais nos perceptions sont incomplètes. Nous percevons seulement une partie des choses et seulement une partie de ces parties". C'est une reprise de la thèse classique où Gödel se montre leibnizien: Dieu n'est pas trompeur. Il ne joue pas à nous induire en erreur. Ce qui m'apparait évident et que je n'ai aucun moyen de corriger doit être vrai. Dans ce cadre leibnizien, Dieu n'a pas choisi les lois logiques. A partir du moment où il a créé la matière et un monde matériel, il est contraint par les lois qui s'appliquent à celui-ci et en particulier par le théorème d'incomplétude qui dit (à condition que les lois physiques soient, comme le veut Gödel, et quantiques et déterministes) que tout système physique avec un nombre fini de particules élémentaires comme le cerveau, est incomplet et ne peut pas produire toutes les propositions vraies d'une théorie permettant par exemple de formuler les problèmes diophantiens. L'esprit humain, que Dieu attache à un tel cerveau, reste incomplet tant qu'il fonctionne en harmonie (en parallèle) avec le cerveau: il ne peut pas connaitre la vérité entière. Dieu n'est pas trompeur mais ne peut rien pour remédier à ce défaut dont la cause est logique. Il peut seulement nous assurer une autre vie dans un autre monde, avec peut-être un autre corps, comme celui des anges, faits de concepts, où ce qui échappait à la connaissance dans cette vie nous apparaitrait enfin.Gödel reprend également la thèse classique que le péché tient à l'ignorance. Nous faisons le mal par ignorance du bien. Celle-ci vient d'abord de ce que, par nature, nous ne pouvons pas connaitre la vérité entière ni saisir la réalité conceptuelle dans son entier: "La possibilité du mal ne nait que parce que nous ne percevons pas certaines essences conceptuelles et que nous ne percevons beaucoup des relations entre les concepts que de façon empirique" ou encore: l'existence du péché vient "d'une représentation imparfaite des concepts". Le théorème d'incomplétude semble donc bien expliquer l'existence du mal en ce monde et Dieu ne pouvait ce mal, qui a une raison logique.Mais il y a pire nous dit Cassou Noguès. C'est que l'incomplétude ouvre la place au grand tentateur, le diable. Ce n'est pas prouvable de façon claire, on ne dispose encore que d'une moitié des cahiers philosophiques et il se peut que Gödel lui-même hésite. Pour approfondir cette idée, il faut revenir aux Méditations métaphysiques ou Descartes imagine un Malin Génie qui le tromperait et lui donnerait de fausses évidences ou qui ferait en sorte que ces évidences soient erronées ou des réalités qui n'existent pas. 2 et trois font 5 seraient des évidences mathématiques, mais cela pourrait être une illusion dont nous convainc ce malin génie, un peu comme s'il nous hypnotisait. Seulement Descartes prend appui sur le "Je pense donc je suis" qui lui, est indubitable. De là, il prouve l'existence de Dieu. Or Dieu n'est pas trompeur et ne laisserait pas faire le Malin Génie: ce qui m'apparait comme évident et que je n'ai aucun moyen de vérifier est vrai. Que devient ce raisonnement dans la métaphysique de Gödel? Nous disposons de langues qui ne trompent pas: ce sont les systèmes formels. Nous utilisons des symboles selon des règles définies sans ambiguïté. En les appliquant, nous ne réfléchissons pas et nous déduisons des propositions à partir des axiomes... Nous ne pouvons pas nous laisser induire en erreur. Seulement, ces langues qui ne trompent pas sont incomplètes et ne permettent pas ou de démontrer ou de réfuter les propositions qu'elles permettent de formuler. Pour décider de ces propositions, dans ce monde en attendant la vie éternelle, il faut chercher des intuitions. Or elles supposent des états mentaux sans corrélats cérébraux (avec le cerveau). Ainsi, elles rompent cette harmonie que Dieu a instituée entre la pensée et la matière. Dieu peut-il garantir ces intuitions? Cassou Noguès nous dit qu'il arrive à Gödel d'en douter: "Les évidences ont souvent la forme de suggestions extérieures. [...] à propos des mêmes questions, elles peuvent se modifier d'un jour à l'autre. Elles sont un (?)qui s'accomplit dans l'inconscient, de façon automatique, facile mais souvent fausse. Que nous sommes sous la puissance du diable signifie: [...] bien souvent que nous ne sommes pas placés devant de véritables choix [...]. Nos évidences directes se contredisent les unes les autres". Cette note d'un cahier philosophique est mal écrite et la transcription n'est pas sûre. certains passages sont dépourvus de sens, et Gödel, dans son emportement, a pu omettre des mots. Se pourrait-il que le diable en personne nous suggère ainsi ces évidences changeantes? Ce diable contre lequel Dieu ne pourrait rien car ce que nous cherchons est indécidable dans les langues que nous utilisons dans ce monde matériel? Il n'y a pas de doute, d'après ses cahiers philosophiques, que Gödel croit à l'existence du diable et c'est parfois une véritable angoisse. Mais de la même manière qu'on parle du Dieu des philosophes, il y a peut-être un diable des philosophes, qui possède une fonction épistémologique. Si le mal est dans l'ignorance ou dans l'erreur et si la pensée naturelle, celle qui suit le mécanisme cérébral ou la pensée rigoureuse, qui se fait par démonstrations formelles, est incomplète, cette incomplétude explique le mal et laisse ouverte la possibilité d'un diable qui nous suggère des évidences trompeuses contre lesquelles nous ne pouvons pas nous défendre. Le diable est la figure de l'erreur comme Dieu est celle de la vérité. Et Gödel peut faire le parallèle: "P et non-P se distinguent bien peu de l'extérieur. Dieu et le diable que l'on peut facilement confondre sont isomorphes".
Théorème de Tarski (
On ne peut définir dans le langage de l'arithmétique la vérité des énoncés de ce langage.)
;
œil ¨ ë ï ∀a ∃x x2 y2
https://www.inserm.fr/actualites-et-evenements/actualites/neuroethique-humain-est-pas-reductible-son-cerveau Neuroéthique : l’humain n’est pas réductible à son cerveau
C'est un danger invisible mais intrinsèque aux intelligences artificielles : il est impossible de savoir avec certitude si elles feront bien ce qu'on leur a appris. Théorisée grâce aux travaux du logicien Kurt Gödel, cette "indécidabilité" menace, selon Roman Ikonicoff, l'avenir même des IA[...] Le théorème d'incomplétude de Gödel (photo) démontre que la plupart des systèmes formels peuvent formuler des énoncés corrects qui ne sont ni démontrables ni infirma-bles dans le système : des énoncés "indécidables"1) RappelsMon article 1 Je relis avec attention le livre de Pierre Cassou-Noguès et j'en donne ici "ma lecture" car mon questionnement sur les dangers de l'intelligence artificielle et les crises que l'humanité est en train de vivre, avec en particulier, la crise sanitaire qui s'est déclenchée en 2020 m'amènent à me réinterroger sur la signification des théorèmes de Gôdel et de sa folie dont on a tant parlé. (voir aussi l'article de mon blog "Le cerveau numérique et le danger du transhumanisme" et l'avis de Philippe Guillemant dans NEXUS "La principale finalité de la vaccination n'est pas sanitaire").En résumé de l'article: L'ambition philosophique de Gödel, mais qui en même temps son aveu d'échec. L'ambition est de transformer la philosophie. Celle-ci doit, en premier lieu, devenir une véritable théorie, comme les théories scientifiques. En deuxième lieu, la seconde transformation concerne son domaine que Gödel entend déplacer de la matière vers l'esprit. Et ceci contrairement à l'esprit du temps, empêtré dans ses préjugés matérialistes. Il entend "spiritualiser" la matière, puisque les choses ne sont faites que de monades. Cela donne alors la possibilité d'inclure dans le domaine de la philosophie la référence à d'autres esprits, Dieu, les anges et ... d'autres mondes. Ce projet qui semble faire de la philosophie une science fantastique est au coeur de l'opposition de Gödel au cercle de Vienne, qui dit que "la philosophie n'a rien à dire sur le monde". La métaphysique telle que Gödel l'envisage a donc deux sources: la science, dont elle doit prendre la forme, et une religiosité qu'on peut dire fantastique. Mais Gödel n'aboutit pas et cette philosophie rigoureuse ne se trouve pas dans les notes qu'il nous a laissé. On ne trouve que des remarques, notes, passages courts, mais qui ne font pas système. Gödel est bien conscient qu'il ne laisse que ces remarques et il conseille Wang pour la présentation de ses notes. Terminons cet article sur la "folie" de Gödel en évoquant le fantastique ou le mystérieux. "Il y a d'autres mondes et d'autres êtres rationnels d'une espèce différente et plus élevée [ que l'espèce humaine].Mon article 2: La réalité des objets immatériels, le platonisme de Gödel-L'œil pinéal. "On perd la raison comme on perd la perception sensible"Pour commencer l'article, évoquons Wang_Hao_(logicien) qui a longuement parlé de Gödel dans ses livres Réflexions sur Kurt Gödel et "a logical journey" (de Gödel à la philosophie).- Le platonisme. Dans le chapitre 2 (le platonisme), Cassou Noguès va essayer d'étayer l'hypothèse que Gödel aurait entendu les anges avant de voir les objets mathématiques.-Différentes sortes d'objets. Si nous donnons une réalité aux objets littéraires, il faut les placer dans notre monde où, apparemment ils ne sont pas. Les objets mathématiques ne donnent pas lieu à cette difficulté, car ils s'inscrivent dans le monde des idées.-Le mathématicien et le docteur Watson. Comment le narrateur peut-il parles d'objets qu'il semble considérer comme dotés d'une réalité différente de la sienne? Comment a t-il accès à ce plan de réalité? Et comment pouvons-nous le croire lorsqu'il parle de ces objets?-L'argument de Gödel. Gödel a plusieurs arguments que Cassou Noguès passe en revue dans Gödel and the question of the Objective Existence of Mathematical Objects. Mais il revient presque toujours, à partir des années 1950 au même argument qu'il formule dans la plus grande généralité. L'idée est la suivante: un objet qui possède des propriétés que nous ne connaissons pas ne pas avoir été créé par nous de façon consciente à partir de rien-Descartes et la psychanalyse.-Borges, les rêves et la réalité des fictions.-Les mathématiques comme rêve.-Retour sur l'œil de la pensée.-Diverses spéculations - intuition et perception sensible - la raison comme 6è sens voir La psychose angélique de Gödel (Lacan et le théorème de l'incomplétude)-De soudaines illuminations. Hypothèses de Pierre Cassou Noguès. La structure du monde dont on a vu que Gödel l'imagine persécutant les philosophes "illuminés" n'est sans doute pour lui qu'un dernier rempart qu'il s'est constitué pour s'interdire la folie nous confie Cassou Noguès. L'œil serait l'organe qui marque dans le corps humain une folie toujours possible. Il serait le point mystérieux où non seulement un esprit mais un cerveau humain peut interrompre son fonctionnement normal pour basculer dans une folie complète.Mon article 3 l'incomplétude partie 1: synthèse.a)*Incomplétude et hypnose. Les théorèmes d'incomplétude."Gödel avait peur d'être fou" et et que ces pensées infirmes, inconscientes, se développent d'elles-mêmes, sans contrôle". Gödel pourrait ne plus être Gödel mais un autre, et agir sous l'influence de cet autre autre. L'aurait-t-on hypnotisé à son insu? Ces peurs pourraient-elles préfigurer des réflexions comme celles de Michel Bitbol: la conscience a-t-elle une origine?.Pour Pierre Cassou Noguès, cette peur s'exprime dans le théorème d'incomplétude. Elles est liée à la métaphysique fantastique que Gödel développera par la suite. Il faut partir du programme par lequel David Hilbert veut donner un fondement aux mathématiques et en premier lieu, à la théorie la plus simple, l'arithmétique. (Quand mon cerveau fait de l'arithmétique, je peux penser à autre chose ou en fait penser à ce que fait mon cerveau. C'est en gros, dit Cassou Noguès, le programme de Hilbert). Mais Gödel refuse avant tout que ce soit le cerveau qui fasse les mathématiques. Au fond, le programme de Hilbert suppose que les démonstrations n'ont pas de sens et ne sont qu'un jeu de symboles. Gödel répond "Non, l'arithmétique a un sens: ce n'est donc pas mon cerveau mais bien moi; le mathématicien". Il est impossible de penser deux choses à la fois (aux démonstrations arithmétiques et à cette métamathématiques dans laquelle je raisonne sur les démonstrations). Cependant, il y a une nouvelle possibilité que Hilbert ne pouvait imaginer: traduire la métamathématique dans l'arithmétique. Si l'arithmétique a un sens, on peut raisonner sur ses démonstrations grâce à un appareil conceptuel dans lequel on a inventé des prédicats pour les appliquer aux formules que (croyait-on avec Hilbert) produisait le cerveau. Gödel traduit les propriétés métamathématiques qui s'appliquent aux formules et démonstrations arithmétiques par des propriétés arithmétiques, qu'il code par des entiers. Ainsi, au lieu de se couper l'esprit en deux, comme on ne peut pas penser deux choses en même temps. il s'arrange pour que les formules arithmétiques disent deux choses à la fois: elles ont un sens propre et un sens métamathématique. On peut alors construire une formule arithmétique I qui traduit l'assertion métamathématique "I n'est pas démontrable". Si I était démontrable dans l'arithmétique, elle serait vraie, ce qui signifierait au niveau métamathématique que I n'est pas démontrable. Inversement, si I était réfutable dans l'arithmétique (c.a.d sa négation démontrable), elle serait fausse, ce qui signifierait au niveau métamathématique que I est démontrable. En conséquence, Si l'arithmétique est consistante, et que l'on ne peut pas démontrer une proposition et sa négation, I n'est ni démontrable ni réfutable: elle est indécidable dans l'arithmétique. Celle-ci telle qu'elle a été formalisée est incomplète.C'est Le premier des deux théorèmes de Gödel. Il énonce qu'une théorie suffisante pour faire de l'arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe forcément des énoncés qui ne sont pas démontrables et dont la négation n'est pas non plus démontrable : c'est-à-dire qu'il existe des énoncés sur lesquels on sait qu'on ne pourra jamais rien dire dans le cadre de cette théorie. De tels énoncés sont dits indécidableLe second théorème d'incomplétude est à la fois un corollaire et une formalisation d'une partie de la preuve du premier. Il traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie : une théorie est cohérente s'il existe des énoncés qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) ; par exemple on exprime souvent la cohérence de l'arithmétique par le fait que l'énoncé 0 = 1 n'y est pas démontrable (sachant que bien entendu 0 ≠ 1 l'est). Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème, on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l'on peut résumer par : «une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence».Il faut des raisonnements qui dépassent l'arithmétique et ce ne sont plus des raisonnements immédiatement vérifiables par lesquels Hilbert voulait fonder l'arithmétique. Le programme de Hilbert est ruiné.b)*Le mathématicien et le méta-mathématicien.Je fais de l'arithmétique. Mes formules ont double sens. Je me concentre sur mes démonstrations. Je réfléchis à la portée de mes théorèmes et je ne me préoccupe pas d'un autre sens que ces énoncés pourraient avoir. Je cherche à démontrer la formule I, puis je cherche à la réfuter. Je n'y arrive pas parce que dans l'arithmétique il ne se trouve ni preuve ni réfutation. Je ne comprend pas, en étant seulement arithméticien que cette formule dit elle-même qu'elle n'est pas démontrable. Ce second sens s'adresse à un autre en moi, le méta-mathématicien. Or Gödel a cessé d'être ce méta-mathématicien au moment où il a refusé de laisser son cerveau faire de l'arithmétique tout seul et donner un sens à ses formules Il s'imagine que ce méta-mathématicien l'observe alors qu'il est en train de démontrer la proposition I. Gödel fait de l'arithmétique, comme le cerveau du programme de Hilbert, et pendant ce temps, un autre en lui, le méta-mathématicien, donne un sens différent à ses formules et détermine leur vérité sans que lui, plongé dans l'arithmétique, ne s'en rende compte. Et c'est ce qu'il craint. Il a peur d'avoir été hypnotisé à son insu. Il se méfie d'un autre Gödel qui le conduirait faire des gestes qui auraient un sens et un but que lui, le vrai Gödel ne comprendrait pas. Et c'est ce qui arrive au mathématicien dans le théorème d'incomplétude. Le monde de Gödel est un cauchemar où, ce que que l'on craint le plus se réalise toujours. monde de Gödel est un cauchemar où, ce que que l'on craint le plus se réalise toujours. En arithmétique, en tout cas, Gödel n'aura de cesse d'éliminer cet autre, le méta-mathématicien qui décide des phrases que le mathématicien laisse in-décidées. Alors une position face à ce dilemme est d'ajouter de nouveaux axiomes pour rendre ces propositions démontrables. Mais dans le nouveau système on se retrouve face au même problème avec de nouvelles propositions qui restent indécidables. Ajoutons de nouveaux axiomes? Toute sa vie, Gödel cherchera une méthode qui permette à l'arithmétique d'ajouter de nouveaux axiomes de façon à en faire un système complet où il pourrait démontrer ou réfuter chacun de ses énoncés et ... dans lequel son autre n'aurait ainsi plus de place. Seulement, pour cela, il faudrait inventer des raisonnements inouïs auxquels aucun homme n'a encore pensé et dont montrera pense Gödel que le cerveau humain n'en n'est pas capable. Pour mettre en place de tels raisonnements, il faudrait penser sans utiliser le cerveau, penser comme un ange ou un fantôme, un esprit détaché de son corps. Alors, en attendant, on ne peut pas éliminer l'autre, sauf à ce risquer à écouter les anges mathématiques et ces démons trompeurs qui les accompagnent. C'est le risque de vouloir être un (sans l'autre).c)*Le cercle de Vienne -les cafés viennois-.Histoire: voir Gödel mon article 2: l'incomplétude partie 1Qu'est-ce que Gödel a dit à Carnap et aux autres, ce 26 août 1930 au café Reichsrat? Pierre Cassou Noguès essaye d'imaginer... "Tous les systèmes formels avec un nombre fini d'axiomes qui contiennent l'arithmétique des entiers naturels sont incomplets. Cela vaut aussi pour les systèmes avec une infinité d'axiomes pourvu que la règle (c'est à dire la loi par laquelle l'ensemble infini des axiomes est engendré) soit constructive (en un sens qui peut être rendu assez précis)". A ce moment-là, Gödel ne peut pas en dire beaucoup plus. La difficulté est de savoir ce qu'est un système formel qui contient l'arithmétique. En réalité, Gödel a prouvé son théorème pour un système particulier, celui des "Principia Mathematica" de Whitehead et Russell. On reste encore avec la difficulté de savoir ce qu'est un système formel. L'incomplétude est-elle un défaut propre au système des Principia Mathematica? Ou bien le théorème de Gödel vaut-il pour tout système consistant capable d'exprimer l'arithmétique? Cette question, qui se pose en 1931 tient au fait qu'à ce moment là on ne sait pas de façon précise ce qu'est un système formel. Mais que veut dire "sans ambiguïté", "précis"... , termes exigés pour les axiomes, les règles d'inférence. Ce sont des mots du langage naturel qui, justement, ne déterminent pas de façon suffisamment précise le concept de système formel. On pourrait exiger que les démonstrations soient des processus purement "mécaniques": On pourrait déduire une formule des axiomes ou de formules déjà établies, en ignorant le sens des symboles, en ne les considérant que comme des dessins qu'on disposerait les uns à côté des autres selon les règles d'un jeu un peu absurde. Ce serait comme si "on ne se référait qu'à la structure extérieure des formules et non à leur sens de telle sorte que les règles puissent être appliquées par quelqu'un qui ne connaitrait rien des mathématiques, ou par une machine". Mais on revient à nouveau à la question: "qu'est-ce que ça veut dire précisément"? La solution est pourtant là, dans l'idée de machine. On peut considérer que la notion de système formel est fixée en 1937 avec l'article de Alan Turing. Il deviendra possible d'énoncer les théorèmes d'incomplétude en toute généralité.d)*Les machines de Turing.Alan Turing est encore étudiant au Trinity College quand il invente ses machines. Il répond en cela à un problème précis: qu'est-ce que suivre des règles, qui déterminent nos actions sans ambiguïté et aboutissent réellement à un résultat c'est à dire en un nombre fini d'étapes? Que peut calculer l'esprit humain en les suivant? Il s'agit de définir la pensée humaine en tant qu'elle est réglée. Il semble que pour aboutir, elle doive être rester dans le fini et ne mettre en œuvre qu'un nombre fini d'étapes. Déjà, en 1934, Alonzo Church. pose une thèse qui vise à définir la notion de calculabilité, et la pensée réglée et finie. Gödel donne, lui, une définition équivalente, mais il n'est pas convaincu que l'une ou l'autre embrassent le calcul dans toute sa généralité. Il manque selon lui une véritable analyse qui en justifie les définitions. C'est cette analyse que donne Turing avec sa propre définition, équivalente mais plus naturelle, qui semble les justifier. Pour cette définition (qu'est-ce qu'un calcul, un processus de pensée, réglé et fini?), on parle de la thèse de Church ( thèse concernant la définition de la notion de calculabilité), de la thèse de Turing (énoncé et texte inaugural), ou de la thèse de Church Turing. Cassou Noguès évoque ici un 4è logicien à qui il consacre un chapitre de son livre, Emile Post. C'est lui aussi un "fou" que l'histoire a laissé de côté et qui est à l'origine d'un autre indécidable. le problème de correspondance de Post. Les définitions de la calculabilité de Church et Gödel étant plus technique Cassou Noguès présente celle de Turing, qui donne des formulations simples du théorème de Gödel (que ce dernier préfère d'ailleurs). Le papier de Turing est un article rédigé en 1936 et publié en 1937. Une machine de Turing est un modèle abstrait du fonctionnement des appareils mécaniques de calcul, tel un ordinateur. Il était censé représenter une personne virtuelle exécutant une procédure bien définie, en changeant le contenu des cases d'un ruban infini, en choisissant ce contenu parmi un ensemble fini de symboles. D'autre part, à chaque étape de la procédure, la personne doit se placer dans un état particulier parmi un ensemble fini d'états. En résumé, les actions (se déplacer sur un ruban, imprimer un symbole, changer d'état) sont déterminées par une liste d'instructions. Chaque instruction spécifie des actions en fonction de l'état de la machine et du symbole de la case devant laquelle elle est stationnée. La définition des machines ne dit rien de la nature du dispositif en question. On pose seulement qu'il n'est susceptible que d'un nombre fini d'états internes, qui peuvent être aussi bien matériels que mentaux. N'est-ce pas ce que nous faisons demande Turing quand nous posons une opération en écrivant les chiffres sur une feuille? Nous suivons des règles et des instructions qui prescrivent des actions en fonction des symboles et du point où nous en sommes et des retenues (mémorisées). Ce point n'est pas marqué sur la feuille de papier, mais le calculateur sait où il en est. C'est la thèse de Turing: tout calcul que nous pouvons réaliser en suivant des règles définies est implémentable sur une machine.Il en est de même des démonstrations formelles et d'un système formel dont on exige que les axiomes et les règles d'inférence y soient suffisamment précis pour qu'il soit possible de conduire une démonstration, de déduire de nouvelles formules en ne considérant les symboles que comme des dessins, c'est à dire qu'une machine de Turing doit pouvoir être programmée pour conduire ces démonstrations. Pour chacun des systèmes que les mathématiciens reconnaissent comme formels, il est possible de définir une machine, qui écrit les uns à la suite des autres toutes les formules prouvables et tous les théorèmes du système. On peut alors purement et simplement identifier système formel et machine de Turing.C'est pour Gödel le sens de la notion de système formel: "Il peut simplement être défini comme une procédure mécanique pour produire des formules que l'on appelle formules prouvables. Cela est requis par le concept de système formel dont l'essence est que le raisonnement y est complètement remplacé par des opérations mécaniques sur les formules". Cette définition permet maintenant d'énoncer le théorème de Gödel de1931 (voir mon article 3 l'incomplétude partie 1 chap. 3) dans toute sa généralité: "Il n'y a pas de théorie formelle capable de résoudre tous les problèmes diophantiens", c'est à dire: "il n'existe pas de procédure mécanique pour décider de toutes les propositions de la classe (des problèmes diophantiens). Dans une telle machine, on pourrait écrire le problème sur son ruban. ∀a ∃x ∃y x2 - ay2 = 1 et la machine imprimerait 1 si la proposition est vraie et 0 si elle est fausse. Le théorème de Gödel établit que cette machine est impossible. Une machine peut résoudre certains problèmes diophantiens, il n'en n'existe pas qui puisse les résoudre tous. C'est un exemple d'une classe de problèmes qui ne peut pas se résoudre de façon mécanique et qui, si l'esprit humain peut y réussir, exige autre chose que des raisonnements formels. Gödel dira: il faut de l'intuition.Rappel: Le second théorème de Gödel de 1931 établit que la consistance d'un système formel ne peut se démontrer par des raisonnements qui s'expriment dans le système. Elle n'écrira jamais une formule qui en exprimera la consistance (si celui-ci est bien consistant).e)*Les dilemmes et le matérialismeLa théorème d'incomplétude a été anticipé dans une certaine mesure par deux fois. Par le mathématicien suisse Paul Finsler qui a utilisé une version du paradoxe de Richard (pour construire une expression fausse mais non démontrable dans un cadre informel particulier qu'il avait développé. Cela soulignait l'importance de distinguer soigneusement entre mathématiques et métamathématiques), puis Emile Post avec le problème de correspondance (On part de deux suites finies U et V contenant le même nombre de mots finis sur un alphabet quelconque. Le problème consiste à déterminer s'il existe une telle suite). Ce problème est indécidable: il n'existe pas d'algorithme général capable de fournir une réponse pour des U et V arbitraires.Post, comme Finsler, cherchent une proposition qui soit absolument indécidable, c'est à dire dont on puisse prouver qu'elle ne pourra jamais être ni démontrée, ni réfutée par l'esprit humain. Or Gödel montre seulement l'existence de propositions indécidables dans certains systèmes formels. Son théorème (toutes les mathématiques contemporaines ne suffisent pas à répondre à toutes les équations diophantiennes." "Pour résoudre toutes ces questions, une infinité de nouveaux axiomes sont nécessaires), n'établit pas à lui seul l'existence de propositions indécidables en soi, ni de trancher la question: l'esprit humain est-il ou non une machine de Turing? Nous pouvons démontrer qu'aucune machine de Turing ne peut résoudre la totalité des problèmes diophantiens, mais rien ne dit que nous pouvons les résoudre, ni qu'en raisonnant sur les machines de Turing nous ne sommes pas nous-même une machine. Le théorème de Gödel aboutit à une alternative, un dilemme: ou bien l'esprit humain est irréductible à une machine de Turing, ou bien il existe des propositions arithmétiques indécidables pour cet esprit humain, des problèmes qui ne seront donc jamais résolus par nos mathématiciens. Pour Gödel, l'intérêt de ce dilemme est que chacun des deux termes s'oppose "à la philosophie matérialiste". En effet, s'il existe, d'un côté, des problèmes indécidables pour l'esprit humain, alors les objets mathématiques gardent et garderont toujours des propriétés qui nous échappent, ce qui signifie que ces objets ont une existence autonome et il faut donc admettre un plan de réalité (troisième monde ou raison inconsciente) irréductible au monde sensible. Mais d'un autre côté, Gödel est convaincu que le cerveau humain est une machine de Turing. Alors, si l'esprit humain surpasse toute machine de Turing, son fonctionnement est irréductible au mécanisme du cerveau (un paquet de neurones?) et révèle une autre réalité, une sorte d'âme, elle-même irréductible au monde sensible. C'est dans ce résultat que se résume le théorème d'incomplétude?: "Mon théorème montre seulement que la mécanisation des mathématiques, i.e. l'élimination de l'esprit et des entités abstraites, est impossible, si on veut obtenir une fondation et un système satisfaisant des mathématiques" (impossibilité de se passer d'un objet non matériel).[...] Dès 1934, il remarquait que, grâce au programme formaliste, "certaines questions [...] qui, auparavant ne relevaient que de spéculations vagues et ne pouvaient pas même être énoncées avec précision, sont maintenant susceptibles d'un traitement scientifique". Le dilemme est donc "peut-être, la première proposition rigoureusement prouvée à propos d'un concept philosophique".Pour Gödel, le développement de la pensée occidentale représente un long mouvement de la théologie vers le matérialisme. C'est apparemment une loi générale (dans les temps historiques) que l'esprit du temps tende à tomber dans le matérialisme, au sens d'une métaphysique qui ne reconnait que de la matière. Et cela a pour conséquence de priver le monde de sens comme le montre cette remarque de 1961: "[...] il incline à considérer le monde comme un tas désordonné d'atomes et, par conséquent, insignifiant d'atomes. De surcroît, la mort y apparait comme une annihilation définitive et complète, alors que, de l'autre côté la théologie et l'idéalisme voient dans tout du sens, un dessein et de la raison". Ainsi, Gödel est du côté du sens, de la théologie. Dans le dilemme, les deux côtés de l'alternative obligent à reconnaitre à une réalité qui n'appartient pas au monde matériel, dans une proposition rigoureuse, qui traduit philosophiquement un théorème logique, ce qui explique l'importance que Gödel lui donne dans les années 1950.Reformulé avec les machines de Turing, le 2è théorème établit qu'une machine ne peut pas prouver, mais seulement écrire (puisque comme machine à déduire elle a "prouvé" par les formule qu'elle a écrites) une formule qui exprimerait la consistance du système de formules qu'elle enchaîne. Si on admet que par l'intuition, le mathématicien peut toujours reconnaitre la consistance du système dans lequel il travaille, on conclut qu'il n'est pas une machine de Turing. Mais alors on rajoute au principe d'incomplétude un principe philosophique, une sorte d'axiome sur la capacité de l'esprit à reconnaitre la vérité et la consistance des systèmes. Ce principe ne va pas de soi, les théorèmes de 1931 n'excluent pas que l'esprit humain soit une machine de Turing: "Cela signifierait que l'esprit humain (dans le royaume des mathématiques pures), est équivalent à une machine finie qui, cependant, n'est pas capable de comprendre complètement son propre mécanisme. [...] La reconnaissance du fait que ce mécanisme particulier conduit toujours à des résultats corrects (ou seulement consistants, non contradictoires), dépasserait les capacités de la raison humaine". Or, pour Gödel, l'esprit doit être capable de cette réflexivité, qui lui fait reconnaitre sa propre consistance. Il ajoute aussi en note: "Donc en ce sens, on peut prouver aujourd'hui que la raison humaine [...] ne peut pas être mécanisée". Cette note est; dit Cassou Noguès, la seule occasion où Gödel pense prouver l'irréductibilité de l'esprit à la machine. Celle-ci repose cependant sur le principe philosophique de la réflexivité de l'esprit, qui doit être capable de reconnaitre sa propre consistance, ce qui reste à discuter réellement.f)*Question d'image.1963: Time Magazine prépare un numéro spécial consacré dans lequel on trouve un article de Gödel et son théorème. Les éditeurs proposent un texte au logicien, qui n'en n'est pas satisfait. Il prépare une note avec, au brouillon, une dizaine de formulations différentes. Finalement, dans le texte qu'il envoie, Gödel écrit de façon neutre et à la troisième personne. C'est le journaliste qui répond, par prudence comme à son habitude, Gödel reste anonyme dans l'article. Alors, se demande Cassou Noguès, pourquoi était-il si attentif à ce qui se disait de son travail? Il sait bien que ses notes suivront le même chemin que les papiers d'Einstein qui sont à la bibliothèque. Or il les conserve et les classe dans des enveloppes. Pourquoi? De même que pour les conversations avec Wang, il faut sans doute qu'il ait voulu que soient rendues publiques après sa mort les résultats des recherches qu'il avait tenues secrètes de son vivant. Mais que nous ayons ses papiers ne signifie pas forcément que nous les ayons tous, que ce soit le fruit du temps et du hasard et que dans ce que Gödel nous a laissé, il n'y ait aucun dessein. Cassou Noguès se souvient d'une note en particulier dans la boite des fiches de bibliothèque qui renseignent sur les les lectures du logicien. Il y en a des milliers et c'est un travail fastidieux et ennuyeux de les dépouiller (elles représentent 40 ans de lecture), lorsque Cassou Noguès tomba sur le verso d'une fiche (autrement quelconque), où était écrit ce message, en lettres capitales: "I WILL BE BACK IN A MOMENT ... KURT. A Qui ce billet était-il adressé? Il Faut se rappeler que Kurt croyait aux fantômes et qu'il avait prouvé que le voyage dans le temps n'était pas impossible dans la théorie de la relativité générale.g)*L'optimisme rationaliste.Nous avons vu que Gödel choisit dans ses dilemmes la deuxième alternative (voir Gödel mon article 3 l'incomplétude partie 1 chap. 5) qui implique l'irréductibilité de l'esprit à la machine.1er argument: la raison doit pouvoir résoudre les problèmes qu'elle pose. C'est une conviction rationaliste. Il n'y a rien que la raison puisse rencontrer et ne puisse connaitre, aucun problème qu'elle puisse poser et ne puisse connaitre. Pour Gödel, il en va de la cohérence de la raison et de ses évidences. Il semble évident que les problèmes mathématiques relèvent de la seule raison. Mais "La raison humaine serait tout à fait irrationnelle, à poser des questions auxquelles elle ne pourrait pas répondre, tout en affirmant emphatiquement que seule la raison peut y répondre. La raison humaine serait très imparfaite, et en un sens, inconsistante, ce qui marquerait une contradiction frappante avec le fait que les parties des mathématiques qui ont été développées systématiquement et complètement [...] montrent un degré étonnant de beauté et de perfection [...] Cela semble justifier ce que l'on peut appeler un "optimisme rationaliste". Ce pari sur la cohérence de la raison l'amène à poser que nos mathématiques ne comportent pas de problèmes indécidables pour nous et que, par conséquent notre esprit surpasse la machins de Turing.2è argument: Il concerne la réflexivité de l'esprit. Le théorème de Gödel dit qu'une machine de Turing laisse in-décidées certaines formules, qui ne seront ni démontrées ni réfutées et en particulier celles qui expriment la consistance du système. En revanche, "quand on parle de l'esprit, on n'entend pas une machine (en un sens général), mais une machine qui se reconnait elle-même comme juste".On peut imaginer une machine qui imprime d'abord une formule signifiant la consistance de l'arithmétique élémentaire. Puis elle imprime une formule signifiant la consistance du système obtenu en ajoutant comme axiome à l'arithmétique la formule précédente (consistance de l'arithmétique). Et ainsi de suite. A chaque étape, la machine pose une formule exprimant la consistance du système précédent et l'ajoute comme axiome pour former un nouveau système. Elle semble donc "comprendre son mécanisme" au sens où l'entend Gödel: elle reconnait la consistance du système d'axiomes qu'elle a posé. Pourtant, ce n'est qu'une machine et elle n'est pas encore capable de reconnaitre son mécanisme comme correct ou de le comprendre au sens de Gödel. En effet, ces formules, qui expriment la consistance de celles qui précèdent, forment un système infini dont la machine ne pourra jamais écrire la consistance. Elle fonctionne selon des règles qu'elle ne comprend pas. En fait, il faudrait savoir si la machine est capable de reconnaitre la consistance du système sur lequel elle travaille dans sa totalité ou mieux les axiomes qui déterminent son fonctionnement. L'esprit qu'invoque Gödel n'a semble-t-il aucun moyen d'exprimer cette réflexivité qui le distingue de la machine, ou alors, il faut supposer qu'il utilise un autre langage, des axiomes de nature différent que ceux des langages formels. Cela suppose une réforme de nos mathématiques et de leur langage. Mais pourquoi poser, avec Gödel, que l'esprit (humain?) possède cette réflexivité? Que la raison est cohérente? Il se pourrait que nous ayons la conviction que les mathématiques relèvent de la pure raison (et non de l'observation empirique), et pourtant, qu'elles comportent des problèmes insolubles. Leur beauté est-elle un indice suffisant pour poser la cohérence de la raison qui découvre cet univers? Gödel y voit également un indice de l'harmonie que Dieu a mise dans le monde sensible en le créant. Il ne semble pas justifier ces deux traits, la cohérence de l'esprit et la réflexivité, qui fondent son optimisme rationaliste, par une observation de type phénoménologique directe, de ce que l'esprit "est". Il semble plutôt mettre en œuvre un principe philosophique qui rappelle le principe cartésien de la véracité divine: Dieu n'est pas trompeur. Il n'a pu mettre dans l'esprit humain cette évidence que les mathématiques ne relèvent que de la raison si leurs problèmes ne peuvent être résolus par nous que de façon empirique. C'est quasiment un principe théologique.h)*Le développement des mathématiques.Partons du fait, avec Gödel que l'esprit humain peut résoudre tous les problèmes qu'il peut se poser, dont les problèmes diophantiens. Il faut donc que nos mathématiques soient différentes de celles des machines de Turing et plus puissantes. Il faut aussi que puisse devenir évident pour nous un système d'axiomes avec des listes infinies de formules qu'une machine de Turing ne puisse pas écrire. Or la théorie qui forme la base des mathématiques, la théorie des ensembles, est parfaitement mécanisable. Il s'agit donc de la développer avec de nouveaux axiomes pour former une liste complète où toute proposition qui peut y être formulée est ou démontrable ou réfutable. Une autre difficulté est qu'un système formel au sens strict ne semble rien présupposer du passé mathématique de la théorie. On peut ne rien connaitre des mathématiques, n'être qu'une machine, il suffit d'appliquer les règles pour obtenir des formules valides à partir des axiomes. Un système formel ne présuppose pas de notion, toute notion y est manipulable sans savoir préalable, alors que des théories comme l'analyse présupposent certaines notions et ne peuvent être utilisées que par qui les comprend. Il semble donc que nos langages soient toujours imparfaits ou bien incomplets comme les systèmes formels. Gödel a proposé différentes voies pour étendre la théorie des ensembles. Mais à partir de 1964, il semble envisager une réforme complète de nos mathématiques, qui remplace le concept d'ensemble par d'autres, plus larges. Deux exemples sont le concept réflexif de classe propre (Quand une classe n'est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors pas être élément d'une classe) et le concept de concept, le concept d'analogue. Dans le vocabulaire de Gödel, la classe est l'extension du concept (classe des objets qui vérifient le concept). Elles peuvent donc appartenir à elles-mêmes, à la différence des ensembles (un ensemble n'appartient pas à lui-même), elles sont réflexives. L'idée est que si on ne possède pas encore des axiomes satisfaisants, ils pourraient néanmoins déterminer une nouvelle mathématique dépourvue des imperfections de la notre, et en particulier, complète. Gödel mentionne ici cette possibilité, le concept d'analogue. Qu'entend-t-il par là? On trouve des notes qui opposent la "composition" comme relation primitive pour les objets matériels et "l'analogie" pour les objets abstraits ou qui font de l'analogie le raisonnement des purs esprits, sans corps matériel, ou le mode de raisonnement propre aux "mystères" (donc?) convenant à la logique. Au fond, il attend en mathématique, une révolution comparable à celle qu'a accomplie la théorie de la relativité par rapport à la physique newtonienne, une révolution qui transforme nos concepts fondamentaux et nous rapproche de la réalité. Celle-ci, la découverte d'une nouvelle procédure non mécanique pour former des axiomes aboutissant à un édifice complet, passe non seulement par de nouveaux concepts, mais aussi par la meilleure compréhension de notre esprit. Ce thème est développé en particulier dans une lettre à Paul Tillich de juin 1963. Gödel renvoie à des intuitions tournée vers différents espèces d'ensembles infinis, mais qui dépendent d'une réflexion sur la raison elle-même. Cela doit être mis en relation avec la seconde preuve de l'argument sur la réalité des objets mathématiques: leur monde est imaginé par une raison inconsciente en nous. Le développement des mathématiques et de ses lois suppose bien une réflexion sur la raison...et une reconquête de cet inconscient avec l'élimination de cet "autre" qui le hante En affirmant que la connaissance de soi qui détermine la définition des machines de Turing est une l'analyse "factuelle" et en l'opposant à une connaissance de l'essence de la raison, il laisse entendre que si nous utilisons des symboles et pratiquons certaines opérations sur eux, ce n'est qu'un accident. et que d'autres mathématiques (celles des anges du ciel des idées) sont possibles, où il n'y a plus de symboles et où les axiomes ont une autre forme. Nous pouvons les approcher en retrouvant en nous en deçà du fait de notre incarnation, une raison plus profonde. "La réalisation de telles procédures non mécaniques requerrait un développement de facultés de l'esprit humain bien au-delà du stade qui a été atteint (ou potentiellement atteint) dans notre culture/dans la science d'aujourd'hui". Cela rappelle Mellonta Tauta, nouvelle d'Edgar Poe dans laquelle ce dernier retrouve la correspondance, tombée du ciel, d'un homme du futur (2048) qui survole l'Atlantique dans l'un de ces ballons qui ont remplacé la navigation maritime . Cet homme médite sur l'histoire humaine et s'étonne de ce que les anciens (du millénaire passé, au XIXè siècle) aient progressé si lentement et avaient une connaissance et des sciences réduites à "l'art de ramper". Ils (= nous?) étaient aveuglés par l'analyse des moyens de la connaissance et refusaient toute proposition qui ne provenait pas directement de l'une de ces deux méthodes: la méthode a priori qui procède par déduction à partir d'axiomes immédiats, et la méthode a posteriori qui part de l'expérience. Mais, c'est exactement ce que pourraient dire de nous les anges ou les hommes après la révolution mathématique dans la cosmologie de Gödel: Nous acceptons d'un côté l'observation expérimentale et les preuves inductives et de l'autre les systèmes formels qui doivent être mécanisables, limités par la rigueur de leurs enchainements, mais nous ignorons l'intuition qui nous ouvrirait le ciel mathématique.i)* Paradoxes et réflexivité de l'esprit.Premiere espèce: les paradoxes sémantiques (voir chap.3), Vidal-Rosset -Que-est ce qu'un paradoxe?- attribue l’origine des paradoxes sémantiques à « l’autoréférence ainsi qu’à un usage non régulé des concepts de vérité et de fausseté ». Ils ne concernent que le langage. Le paradoxe du menteur est un paradoxe attribué à Eubulide de Milet et qui remet en cause le fait qu'un énoncé est soit vrai, soit faux. Il concerne des propos tenus par le poète Épiménide. Ces paradoxes ont été résolus par la définition précise des langages. Il suffit de poser qu'en mathématiques la vérité des formules ne se vérifie pas dans ce langage mais dans un métalangage. Le menteur ne peut pas dire: "je mens" ou "la proposition que je viens d'écrire est fausse" mais seulement: "cette formule du langage L est fausse", ces énoncés appartenant à un autre langage, le langage L, l'excluant ainsi du paradoxe. Les deux notions, vérité et démontrabilité doivent donc être différentes. Or, si le langage est consistant, les phrases démontrables doivent être vraies, il faut donc qu'il existe des phrases vraies non démontrables: le langage est donc incomplet.Deuxième espèce de paradoxe: Les paradoxes extensionnels. (L’axiome d’extensionnalité est l’un des axiomes-clés de la plupart des théories des ensembles, en particulier, des théories des ensembles de Zermelo, et de Zermelo-Fraenkel (ZF). Il énonce essentiellement qu'il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments pour montrer que ces deux ensembles sont égaux). Ces paradoxes peuvent être résolus par la répartition des ensembles selon une des hiérarchies: celle des types de Russel ou la hiérarchie cumulative de Zermelo.On part d'un domaine d'objets (espace dans lequel les objets sont définis), les individus. Le premier niveau est constitué par l'ensemble des objets formés avec ces individus, puis au deuxième niveau, des ensembles formés d'ensembles de ce premier niveau et ainsi de suite. Dans cette hiérarchie, chaque ensemble doit être formé d'éléments qui s'inscrivent dans les niveaux qui le précèdent, de façon que qu'un ensemble n'appartienne à lui-même. Et dans cet univers, on ne peut pas former l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes, mais seulement parmi ces derniers, celui de niveau i qui n'appartiennent pas à eux-mêmes (et cet ensemble, de niveau i+1 n'appartient pas à lui-même). Ainsi, on peut considérer que les paradoxes extensionnels sont résolus. Nous avons, du côté des extensions, une théorie des ensembles, il nous manque une théorie des concepts (A voir: Un nouveau livre sur la théorie des concepts?). Nous ne savons pas (encore?) donner de lois satisfaisantes qui autorisent l'application d'un concept à lui-même et écartent les paradoxes intensionnels. C'est pourtant de cette théorie du concept que semblent dépendre, selon Gödel, la révolution qui produira un nouvel édifice auquel ne s'appliqueront plus les théorèmes d'incomplétude. Gödel semble renvoyer ce développement révolutionnaire à différentes propriétés de réflexivité: Réflexivité" des concepts (qui s'appliquent à eux-mêmes), "Réflexivité" de l'esprit, qui doit pouvoir reconnaitre la consistance du système dans lequel il travaille, ou "comprendre" son propre mécanisme, Réflexivité de la raison qui, comme on l'a vu avec la lettre à Tillich au chap. h)*, est reconnue capable d'une connaissance de soi essentielle. Les remarques de Gödel sur la théorie des concepts restent énigmatiques, mais il est clair qu'il en attend une révolution qui transforme l'édifice des mathématiques et les rapproche de cette réalité qu'elles ne reflètent pas (que cette réalité soit dans un monde en soi, ou dans une raison sous-jacente à l'ego et qu'il reste à ramener à la conscience).Il semble donc que cette révolution doive s'appuyer sur une propriété de l'esprit, sa réflexivité, que nos sciences avec leurs préjugés matérialistes tendent à ignorer. Cette révolution mathématique serait la reconquête de l'esprit par lui-même, réduction de cet autre, altérité qui, on l'a vu, fait peur à Gödel, une connaissance de soi "essentielle" qui déborde la connaissance qui intervient dans la machine de Turing.j)* Le logiciel est-il humain?"Il y a une apparente contradiction dans mon propre usage de l'esprit humain également comme concept. Ce qu'il faut éviter est d'utiliser ce concept d'une manière autoréférentielle. Nous ne savons pas le faire. Mais je ne fais pas un usage autoréférentiel du concept d'esprit humain." Cet énoncé, à propos de paradoxes et de la réflexivité, qui a été donné par Gödel à Wang est plutôt surprenant. Quand l'esprit humain raisonne sur le concept d'esprit humain, ce concept qui fait l'objet du raisonnement semble bien devoir s'appliquer au sujet du raisonnement. Cela pose deux questions: c'est bien un usage autoréférentiel du concept d'esprit humain. Alors quelle difficulté y a-t-il à utiliser le concept d'esprit humain de façon auto-référentielle et comment Gödel peut-il éviter de le faire? Est-ce à dire qu'il n'est pas lui-même un esprit humain du moins en tant que logicien?La première question exige de faire un détour par la métaphysique. L'esprit humain et chaque individu sont définis par des concepts. Chaque Je (voir la conscience a t-elle une origine? de Michel Bitbol) est déterminé par un certain système de propriétés caractéristiques, qui détermine de façon précise sa place dans le monde et, par conséquent, l'ensemble des objets que le Je peux percevoir et penser.finalement, c'est un Je qui se pense lui-même, donc c'est un ensemble qui appartient à lui-même. Au total, (parler quand on est un esprit humain et que l'on pense ce que l'on dit) de l'esprit humain, c'est poser un ensemble qui appartient à lui-même. Or, on ne sait pas traiter. ces ensembles. Il faut donc éviter de parler de l'esprit humain quand on est un esprit humain. On peut retenir que chaque Je est un concept et que le concept du sujet détermine l'ensemble des objets dont le sujet fait l'expérience.Mais comment Gödel peut-il peut éviter de d'utiliser le concept d'esprit humain de façon autoréférentielle en parlant de l'esprit humain? Cela veut-il dire qu'il ne s'applique pas ce concept à lui-même quand il parle, et qu'en tant que logicien il s'exclut de l'esprit humain? Cela semble être la seule façon de le comprendre. en tant qu'il parle de l'esprit humain, il n'est plus un esprit humain. De la même manière, Turing a brièvement fait ce genre d'analyse dans sa définition des machines ([...] il lui faut commencer par analyser le calcul, tel que peut le faire le mathématicien, avec son corps, son esprit, son langage etc). Gödel conjecture que de telles analyses interviendront également dans d'autres concepts, en particulier celui de preuve, qui implique une réflexion "concernant la psychologie de l'être qui fait des mathématiques", être qui, dans la cosmologie de Gödel n'est pas nécessairement un esprit humain. Cette ambition de saisir dans la pensée humaine la pensée en général se retrouve également chez Husserl, dont Gödel s'inspire: dans "les idées directrices pour une phénoménologie et une philosophie pures", Husserl maintient qu'en vertu de l'a priori de la corrélation, la réflexion phénoménologique peut isoler des vécus nécessaires à l'appréhension d'un objet et que tout être, y compris Dieu, qui perçoit cet objet doit lui-même éprouver.Mais, il ne faut pas oublier que dans la cosmologie de Gödel, il y a outre Dieu, toute une série d'esprits capables de mathématiques dont, à l'heure actuelle, nous ignorons tout. Alors, l'analyse de Turing vaut elle pour le calculateur humain seulement ou pour tout calculateur qui serait incarné et en quelque sorte, branché sur le cerveau? Ainsi, Wang écrit: "Par esprit, Gödel entend quelque chose qui est supposé vivre indéfiniment et rester tout le temps connecté à un cerveau de taille donnée (Gödel ajoute: [avec à sa disposition une quantité de papier illimitée]. Ce quelque chose pourrait-être en particulier humain ou pourrait être certaines forces de vie partagées par des formes de vie autres qu'humaines". Gödel parle de "formes de vie" d'esprits non bornés (avec une infinité de neurones?). S'il peut parler de l'esprit humain on a vu qu'il ne peut pas encore parler de la pensée ou de l'esprit en général puisqu'il reste de ce point de vue surhumain, un esprit. Pour en parler en tant qu'esprit, il faudrait avoir résolu les paradoxes intensionnels, ce qui semble devoir conditionner la révolution mathématique.Après la petite halte que nous avons faite dans Mon article 3 l'incomplétude partie 1, nous pouvons poursuivre "ma lecture" des derniers paragraphes de chapitre "l'incomplétude" du livre de Pierre cassou Noguès "Les démons de Gödel". Les chapitres de cet article sont numérotés à la suite de ceux de "L'incomplétude partie 1"k)* L'esprit et le cerveau vus par GödelSi un développement des mathématiques est possible comme l'envisage Gödel pour permette par exemple de résoudre la totalité des problèmes diophantiens, il faut que l'esprit soit irréductible à une machine de Turing. Gödel évoque une esprit qui "surpasse infiniment les puissances d'une machins finie', un esprit qui contient un élément/est quelque chose de totalement d'un mécanisme combinatoire fini", une raison "qui contient une partis complètement en dehors du mécanisme". Mais en même temps, il est convaincu que le cerveau se laisse représenter comme une machine de Turing. Cette partie de la raison hors du mécanisme est donc également hors du cerveau, avec des processus qui ne se reflètent pas dans le fonctionnement du cerveau. Dans l'état actuel des connaissances, on peut considérer, avec Pierre Cassou Noguès, le cerveau comme un système de neurones en nombre fini, susceptibles de se connecter les uns aux autres. Si on admet que ces connexions ne peuvent pas passer par un continuum d'états intermédiaires, elles sont ou ouvertes ou fermées. L'état du cerveau est alors déterminé à un instant donné par les connexions ouvertes entre les neurones. Il n'y a qu'un nombre fini d'états possibles. Le passage d'un état cérébral à un autre est déterministe (chaque événement, en vertu du principe de causalité, est déterminée par les événements passés conformément aux lois de la nature).et ne dépend que de l'état initial et des données extérieures. Dans ce cas, le cerveau est bien une machine de Turing. Mais Gödel soutient d'autre part, que cette description n'est pas nécessaire à la détermination cerveau comme machine de Turing. D'un côté il accepte le principe d'incertitude quantique de la mesure, ce qui, dans son esprit, interdit de donner à un système physique un continuum d'états possibles. En effet, les états possibles d'un système physique (constitué de particules en nombre fini) sont en nombre fini. D'un autre côté, nous dit Cassou Noguès, il semble refuser le caractère probabiliste de la mécanique quantique et admettre qu'en dernier ressort, ses lois sont déterministes. Mais comme Gödel estime nos théories et nos principes ne sont qu'une étape intermédiaire dans notre approche de la réalité, destinées à être dépassés, cette "extrapolation" s'accorde parfaitement avec sa monadologie. Les monades, particules spirituelles et par conséquent indivisibles, justifient le caractère quantique de notre physique, alors que la possibilité d'une harmonie entre elles, l'harmonie préétablie de Leibniz (?), semble exiger de donner à la physique des lois déterministes. Ainsi, toute partie finie de la nature et en particulier le cerveau, laissée à elle-même, semble donc être une machine de Turing alors que, rappelons le, il faut que l'esprit soit irréductible à une machine de Turing, comme précisé en début de ce chapitre.Gödel défend des thèses vitalistes (voir certaines de ses conversations avec Wang) qui ont du mal à se concilier avec son interprétation de la physique. Ce qui est certain, c'est qu'il pose le cerveau comme une machine de Turing, tout en refusant que l'esprit soit lui-même une machine. En réalité, l'inférence du cerveau à l'esprit suppose des postulats métaphysiques, (préjugés de notre temps, dit Gödel): "Deux hypothèses qui aujourd'hui sont en général acceptées; à savoir: (1) il n'y a pas d'esprit séparé de la matière; (2) Le cerveau fonctionne comme un ordinateur binaire....(2') Les lois physiques, dans leurs conséquences observables, n'ont qu'une limite finie de précision." Si Gödel pense que (2) est très vraisemblable et (2') pratiquement certain, il croit que (1) est un préjugé de notre temps qui sera réfuté empiriquement, peut-être par le fait qu'il n'y a pas assez de cellules nerveuses pour accomplir les opérations observables de l'esprit" (texte de la main de Gödel note 71 p. 272). On peut énoncer de façon plus précise l'hypothèse (1) de non-séparabilité en posant (1.a): à chaque état du cerveau correspond un état de l'esprit et inversement; et (1.b) le passage d'un état à un autre, dans le cerveau, se traduit par la transition correspondante dans l'esprit et inversement. Gödel espère que ces hypothèses et ce parallélisme, qui implique que l'esprit est une machine de Turing, seront réfutés. On pourra distinguer dans l'esprit, pense-t-il, des états plus nombreux que ceux dont le cerveau est susceptible. Comme on connait approximativement le nombre de neurones (n), le nombre des états possibles du cerveau est 2 n . Si on peut distinguer un nombre supérieur d'états dans l'esprit, c'est que certains états mentaux n'ont pas de correspondance cérébrale et cela détruira l'hypothèse "paralléliste". En supposant qu'un décompte introspectif des états mentaux soit possible, on aurait ainsi une réfutation purement empirique: "[...] par exemple, selon certains psychologues, l'esprit est capable de se souvenir avec tous les détails de tout ce dont il a fait l'expérience. Il semble plausible qu'il n'y ait pas assez de cellules nerveuses pour accomplir cela". Cette question du nombre des états mentaux réapparait à propos d'une vision qui différentie Gödel de Turing. Pour ce dernier, le calculateur humain se comporte comme une machine de Turing. Il n'y a pas de difficulté à établir que les écritures des mathématiciens sur le plan d'une feuille de papier peuvent être reproduites par la machine sur la ligne de son ruban, ni que le mathématicien, dans un calcul ou une démonstration formelle, suit des règles qui déterminent de façon univoque des transitions entre des états mentaux. La difficulté concerne le nombre, fini ou non des états mentaux dont l'esprit est susceptible. Turing dit: "Le nombre des états d'esprit que l'on doit prendre en compte est fini [...] Si nous admettions une infinité d'états d'esprit, certains se trouveraient "arbitrairement proches" et seraient confondus". Et, c'est ce point que conteste Gödel. On ne peut pas préjuger du nombre des états mentaux. Pour résumer, Gödel dit que l'argument de Turing n'est pas concluant, car il dépend de la supposition qu'un esprit fini n'est capable que d'un nombre fini d'états distinguables. Ce que Turing néglige complètement est le fait que l'esprit n'est pas statique mais en constant développement. Par conséquent, bien qu'à chaque étape du développement de l'esprit, le nombre de ses états possibles soit fini, il n'y a aucune raison pour que ce nombre ne puisse converger vers l'infini au cours de ce développement. Pour Gödel, l'esprit humain peut être représenté comme un dispositif avec des états distincts soumis à des règles déterministes, mais il conteste que le nombre de ses états possibles, dans l'ensemble de son développement soit fini. A chaque étape, il n'est passé que par un nombre fini d'états différents, mais il n'y a pas de borne au nombre des états que ces étapes sont susceptibles d'impliquer. Dans le cours de son développement dans son entier, l'esprit peut donc mettre en jeu une infinité d'états. C'est une machine déterministe, mais infinie. l'esprit est proche de l'automate spirituel de Leibniz, également déterministe et infini ("la conscience renvoie à une unité. La machine est composée de parties" voir Leibniz philosophie de l'esprit). Mais cette description de l'esprit pose problème. Comment s'il attaché à un cerveau dont le nombre d'état possible est fixé, ou limité, l'esprit peut-il passer par un nombre croissant d'états différents? Il y a bien un moment où il y a des états qui n'ont pas de corrélats dans le cerveau? Comment l'esprit surmonte-t-i en fait les limites de son cerveau? Dans un des rares exemples concrets que donne Gödel pour illustrer ce développement indéfini, l'esprit est détaché du cerveau" "[...] Il est parfaitement possible que que nous soyons capables d'une infinité d'états mentaux nettement distingués bien que, à chaque moment, seulement un nombre fini de ces états aient été actualisés. En fait, cela contredit "la finitude" de l'esprit humain aussi peu que la vie éternelle. Cette dernière présuppose également la possibilité d'une infinité d'expériences bien dans un être fini. C'est seulement un préjugé matérialiste qui exclut cela à cause de la finitude de notre "tête". Gödel ne dit pas ici que le développement de l'esprit, qui le fait passer par une infinité d'états et seul semble le distinguer d'une machine de Turing, ne peut s'accomplir que dans une vie éternelle. C'est par contre ce qu'il laisse entendre dans un texte de Wang (qu'il a corrigé de sa main): "Pour ce que nous en savons, l'esprit (mind) ou le "spirit" (corrigé par "l'ego" par Gödel) peut être distinct du cerveau et au cours d'un temps infini, être capable d'un nombre infini d'états distinguables. Le cerveau peut être essentiellement un ordinateur binaire, temporairement (rajouté par Gödel) connecté à un esprit fini capable d'un développement illimité, systématique et non mécanique (rajouté par Gödel). On ne nie pas que l'esprit humain soit fini et, à chaque étape de son développement, capable seulement d'un nombre fini d'états différents. Cette observation pointe vers un monde possible(qui pourrait être le monde réel), dans lequel il existerait pour des esprits finis des procédures mentales que ne puisse imiter aucune machine de Turing". Gödel (ou Wang sous l'œil de Gödel) admet que ce développement indéfini de l'esprit humain exige un temps infini qui on le sait, ne nous est pas accordé dans la vie terrestre. Il semble donc exiger une vie éternelle dans un monde qui peut être, mais qui n'est pas forcément ce que dans cette vie, nous appelons le monde réel.
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